解得：Q1?24。
利润最大化的一阶条件为：
Born to win
经济学考研交流d?1dQ1?24?Q1?0。
代入厂商2的反应曲线，得到厂商2的最优产量：Q2?24?Q1?12。 2将Q1，Q2代入需求曲线，均衡价格为：P?53?24?12?17。 厂商1的利润为：?1?17?24?5?24?288（美元）。 厂商2的利润为：?2?17?12?5?12 ?144（美元）。
斯塔克博格领袖将生产24个单位的产量，利润为288；追随者生产12个单位的产量，利润为144。
5．两厂商生产相同的小机械。它们同时选择的产出水平为Q1和Q2，面临的需求曲线为P?30?Q，式中Q?Q1?Q2。以前两家厂商的边际成本都为零。最近新颁布的环境法规使得厂商2的边际成本上升到15美元。厂商1的边际成本固定不变为零。判断正误：市场价格将因此上升到垄断水平。
答：正确。
厂商1的利润为：
?1??30?Q?Q1?30Q1?Q12?Q1Q2
利润最大化的一阶条件为：
d?1?30?2Q1?Q2?0 dQ1厂商1的反应曲线为：Q1?15?0.5Q2 ① 厂商2的边际成本上升后，利润函数为：
?2??30?Q?Q2?15Q2?15Q2?Q22?Q1Q2
利润最大化的一阶条件为：
d?2?15?Q1?2Q2?0 dQ2厂商2的反应曲线为：Q2?7.5?0.5Q1 ② 联立①和②，解得Q1?15，Q2?0。
也就是说，厂商2生产量为0，市场上的需求完全由厂商1供给，所以P?15就是垄断价格。
6．设有两个生产小机械的相同的厂商，并且它们是市场上惟一的两个厂商。它们的成本由C1?60Q1和C2?60Q2给出，式中，Q1为厂商1的产量，Q2是厂商2的产量。价格由下列需求函数给出：P?300?Q，其中Q?Q1?Q2。
（1）求出古诺—纳什均衡。算出各厂商在该均衡中的利润。
（2）假设这两个厂商为了使联合利润最大化组成了一个卡特尔。它们将生产多少小机械？算出各厂商的利润。
（3）设厂商1是该行业中惟一的厂商。市场产量和厂商1的利润与（2）中求出的有何不同？
（4）回到（2）中的双寡头，设厂商1遵守协定，但厂商2通过增产欺诈。厂商2将
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经济学考研交流生产多少小机械？各厂商的利润是多少？
解：（1）为了确定古诺均衡，必须求出每个厂商的反应曲线。
厂商1的利润函数为：
?1?PQ1?C1?300Q1?Q12?Q1Q2?60Q1?240Q1?Q12?Q1Q2
利润最大化的一阶条件为：
??1?240?2Q1?Q2?0 ?Q1所以厂商1的反应曲线为：Q1?120?0.5Q2。 类似地，厂商2的反应曲线为：Q2?120?0.5Q1。 联立上面两式，解得：Q1? 80，Q2?80。
所以，均衡价格为：P?300?160?140。
两寡头的利润为：?1??2? 140?80?60?80?6400。
（2）由于两厂商面对相同的边际成本和需求状况，所以，市场总收益为：
R?PQ??300?Q?Q ?300Q?Q2
总利润为：??R?C?300Q?Q2?60Q?240Q?Q2。 利润最大化的一阶条件为：
d??240?2Q?0。 dQ所以，利润最大化的产量为：Q?120。
均衡价格为：P?300?120?180。
由于两厂商面对相同的边际成本和需求状况，所以假设它们平分产量是合理的，即Q1?Q2?60。此时，它们的利润均为：
?1??2?180?60?60?60?7200 （3）如果该行业中只有一个厂商（厂商1），那么可以根据（2）中的计算结果，它的利润最大化的产量为：Q1?120，最大的利润为：?1?14400。
（4）根据（2）的计算，共谋时，每个厂商将生产60单位的产量。现在，厂商2要进行欺诈，它知道厂商1将会生产60，因此将60代入厂商2的反应曲线，有：
Q2?120 ?0.5?60?90
此时，行业的总产量为：QT?60?90?150。
均衡价格为：P?300?150?150。
所以厂商1的利润为：?1?150?60?60?60?5400。 厂商2的利润为：?2?90?150?60?90 ?8100。
7．假设两个竞争厂商A和B生产同质商品。两个厂商都有MC?50美元的边际成本。描述厂商在以下情形下，产量和价格将发生什么变化：①古诺均衡，②共谋均衡，③伯特兰均衡。
（1）因为厂商A必须增加工资，它的MC上升到80美元。 （2）两个厂商的边际成本增加。 （3）需求曲线右移。 答：（1）①在古诺均衡状态下，必须考虑变量变化对反应函数的影响。当厂商A经历边际成本的上升时，它的反应函数会向内移动。厂商A的产量会减少，而厂商B的产量会增加。
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总产量减少，价格上升。
②在共谋均衡状态下，两个厂商会联合起来，像一个垄断者一样行动。当厂商A边际成本的上升时，厂商A会使产量降低为零，假定厂商B可以生产足够多的产量，以至于可以满足整个市场的需求，此时产量和价格都不会发生变化。
③在伯特兰均衡状态下，假定产品都是同质的，两个厂商会把产量调整到价格等于边际成本时所对应的水平。厂商A会把价格提高到80美元，而厂商B会将价格上升到低于80美元的水平（比如79.99美元）抢占A厂商所有的销售份额。所以A公司将不会生产。
（2）①在古诺均衡状态下，两个厂商边际成本的提高会使他们的反应函数都向内移动，两厂商都会减少产量，价格上升。
②在共谋均衡状态下，和垄断市场上的情形相似，边际成本的上升，使得两个厂商都减少产量，价格会上升。
③在伯特兰均衡状态下，和前两种情况相同，价格会上升，总产量会下降。
（3）①同（2）中的情况相反，在古诺均衡状态下，两个反应函数都会向外移动，两厂商会增加产量，价格会上升。
②在共谋均衡状态下，随着需求和边际收益的增加，两个厂商都会增加产量，价格也会上升。
③在伯特兰均衡状态下，两个厂商都会提供更多的产量，在边际成本不变的情况下，价格保持不变。
8．假设航空行业仅有两家厂商组成：美国航空公司和得克萨斯航空公司。让两厂商具有相同的成本函数C?q??40q。设该行业的需求曲线为P?100?Q，且各厂商都期望对方像古诺竞争者一样行为。
（1）计算各厂商的古诺—纳什均衡，假设各厂商是在将对手的产量当作给定时选择最大化自己利润的产量水平。各厂商的利润是多少？
（2）如果得克萨斯航空具有常数边际成本和平均成本25，而美国航空具有常数边际成本和平均成本40，均衡产量为多少？
（3）假设两厂商原有成本函数为C?q??40q，如果美国航空不会跟进，得克萨斯航空愿意投资多少资金以将它的边际成本从40降至25？如果不管美国航空怎么做，得克萨斯航空都有边际成本25，美国航空会愿意花费多少将它的边际成本降至25？
解：（1）为了确定古诺均衡，先求出两个厂商的反应曲线。
美国航空公司的利润函数为：?1?PQ1?C1?100Q1?Q21?Q1Q2?40Q1。 即：?1?60Q1?Q21?Q1Q2。 利润最大化一阶条件为：
??1?60?2Q1?Q2?0。 ?Q1Born to win
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所以美航的反应曲线为：Q1?30?0.5Q2 ①
相似地，得克萨斯航空公司的反应曲线为：Q2?30?0.5Q1 ② 联立①和②，解得：Q1?20，Q2?20。
均衡价格为：P?100?20?20?60。
则美航的利润为：?1?60?20?40?20?400（美元）。
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得航的利润为：?2Born to win
经济学考研交流。 ?60?20?40?20?400（美元）
（2）在新的条件下，美航的利润函数为：
?1?PQ1?C1??100Q1?Q21?Q1Q2??40Q1?60Q1?Q21?Q1Q2
令
??1?60?2Q1?Q2?0得到美航的反应曲线为：Q1?30?0.5Q2 ③ ?Q1相似地，得克萨斯航空公司的反应曲线为：Q2?37.5?0.5Q1 ④ 联立③和④，解得Q1?15，Q2?30。
所以，市场的均衡产量为：Q?Q1?Q2?45。
（3）原来两家公司的利润都为400。现在得航将边际成本降低至25，而美航的边际成本不变，仍为40。这两家公司的产量分别为Q1?15，Q2?30。
新的市场均衡价格为P?100?15?30?55（美元）。 则得航的利润为：?2?55?30?25?30?900（美元）。
这与原来的利润相差500单位，这个差距就是得航将边际成本从40降低到25愿意支付的资金。
在得航的边际成本是25，而美航的边际成本不改变，从而美航的产量为15的条件下，美航的利润为：
?1?55?15?40?15?225（美元） 现在，美航也将边际成本下降到25，从而两家公司都有相同的边际成本（25），两公司的新的反应曲线为：
Q1?37.5?0.5Q2Q2?37.5?0.5Q1
解方程组得：Q1?25，Q2?25。
将Q1，Q2代入需求曲线，均衡价格为： P?100?25?25?50（美元）。 此时，美航的利润为：?1?50?25?25?25?625（美元）。
新的利润与原来的利润相差400个单位，这就是美航要把边际成本从40降到25所愿意支付的资金。
9．对灯泡的需求为Q?100?P，其中Q以百万盒灯泡的销售计；P是每盒的价格。有两个灯泡生产商：永光和迪姆力。它们有相同的成本函数：
Ci?10Qi?1/2Q2i?i?E，D?
Q?QE?QD
（1）认识不到共谋的潜在可能，这两个厂商像短期完全竞争者一样行为。均衡的QE、QD和P的值各为多少？各厂商的利润是多少？
（2）两企业的最高层经营者都被换掉了。双方新经理各自独立地认识到了灯泡行业的寡头垄断性质并采取古诺竞争策略。QE、QD和P的均衡值又是多少？各厂商的利润是多少？
（3）假设永光的经理准确猜到迪姆力是采用古诺策略，所以永光采用斯塔克博格策略。QE、QD和P的均衡值是多少？各厂商的利润是多少？
（4）如果两公司的经理共谋，QE、QD和P的均衡值是多少？各厂商的利润是多少？
解：（1）如果两厂商像完全竞争者一样行动，则他们将在价格等于边际成本处提供产品。 永光的边际成本为：MCE?10?QE。
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令P?MCE，有P?10?QE同样地，令迪姆力的价格等于边际成本，有P?10?QDv ② 对灯泡的需求有P?100?QE?QD ③ 联立①②③式，解得：QE?QD?30，P?100?30?30?40。 利润分别为：?E?PQE?CE?450，?D?PQD?CD?450。 （2）为了确定古诺均衡，首先要求出两家公司的反应曲线。 永光的利润为：?E?PQE?CE?90QE?1.5Q2E?QEQD。 利润最大化的一阶条件为：
??E?90?3QE?QD。 ?QEBorn to win
经济学考研交流 ①
所以反应曲线为：QE?30?1QD ④
3相似地，迪姆力的反应曲线为：QD?30?1QE ⑤
3联立④⑤式，解得：QE?22.5，QD?22.5。
均衡价格为：P?100?22.5?22.5?55。
利润分别为：?E?2050?759.375?506.25?759.375，?D?759.375。
（3）永光的利润函数为：?E?PQE?CE?90QE?1.5Q2E?QEQD ⑥ 由于永光知道迪姆力将按照反应曲线QD?30?1QE选择QD，所以将其代入⑥式中得：
37?E?60QE?Q2E
6利润最大化的一阶条件为：
7d?E/dQE?60?QE?0
3所以QE?25.7，QD?21.4。
所以均衡价格为：P?100?25.7?21.4?52.9。
永光的利润为：?E?52.9?25.7??10?25.7?0.5?25.72??772.29。 ?D?52.9?21.4??10?21.4 ? 0.5?21.42??689.08。
（4）由于两个厂商面对相同的需求、成本状况，所以在串通时，假定他们会平分产量
?Q?1?Q?和利润。设Q为行业产出，则每个厂商各生产Q/2，因此，Ct?10?????。
?2?2?2??Q?行业总成本为：TC?2Ct?10Q???。
?2?22行业利润函数为：
2??Q?????100?Q?Q??10Q????
?2?????利润最大化的条件为：
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平狄克《微观经济学》第习题详解第章 垄断竞争和寡头竞争
