双曲型方程的有限差分法
线性双曲型方程定解问题： （a）一阶线性双曲型方程
?u?u?a?x??0 ?t?x（b）一阶常系数线性双曲型方程组
?u?u?A?0 ?t?x其中A，s阶常数方程方阵，u为未知向量函数。 （c）二阶线性双曲型方程（波动方程）
?2u???u????ax???0
?t2?x??x?a?x?为非负函数
（d）二维，三维空间变量的波动方程
?2u??2u?2u???2?2???0 ?t2??x?y???2u??2u?2u?2u????2?2??0 22???t?y?z???x§1 波动方程的差分逼近 1.1 波动方程及其特征
线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程：
2?2u2?u（1.1） 2?a2 ?t?x其中a?0是常数。
2?2u2?u（1.1）可表示为：2?a2?0，进一步有 ?t?x
??????????a????a?u?0
?x???t?x???tdx??当??a时为u?x,t?的?adt?t?xdu?u?udx?u?u（?????a）,故由此定出两个方向
?t?xdt?t?xdtdt1（1.3） ??
dxa由于
全导数
解常微分方程（1.3）得到两族直线 （1．4） x?a?t?C1 和 x?a?t?C2 称其为特征。
特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。 比如，我们可通过特征给出（1.1）的通解。（行波法、特征线法） 将（1.4）视为(x,t)与(C1,C2)之间的变量替换。由复合函数的微分法则
?u?u?C1?u?C2?u?u?????? ?x?C1?x?C2?x?C1?C2?2u???u?u??C1???u?u??C2???????? 2????x?C1??C1?C2??x?C2??C1?C2??x??2u?2u?2u?2u????2 2?C1?C1?C2?C2?C1?C2?2u?2u?2u ??2?2?C12?C1?C2?C2同理可得
?C1?t?C??a??a，2?a ?t?t?t??u?u?u?C1?u?C2?u????????a??? ?t?C1?t?C2?t?C?C2??1
??u??u?2u???u???C1?u??u???C2???????? ?a???a??2?????????t?C1???C2?C1???t?C2???C2?C1???t2??2u?2u??2u?2??u??a??2??a?2?? ?C?C?C?C?C?C2?12??21?22??2u?2u?2u? ?a?2?2?2??C?C?C?C122??12?2u?2u将2和2代入（1.1）可得： ?x?t2??2u?2u?2u??2u?2u?2??u a?2?2??a?2?2?2?2??C?C?C?C?C?C?C?C122?122??1?12即有
?2u ?0
?C1?C2求其对C2的积分得：
?u?f?C1? 其中f?C1?是C1的任意可微函数。 ?C1再求其对C1的积分得：
（1.5） u?x,t???f?C1?dC1 ?f1?C1??f2?C2??f1?x?at??f2?x?at? 其中f1???和f2???均为任意的二次连续可微函数。 （1.5）为（1.1）的通解，即包含两个任意函数的解。
为了确定函数f1?x?at?和f2?x?at?的具体形式，给定u在x轴的初值
?ut?0??0?x?（1.5） ????x??? ??u????x1??t?t?0将（1.5）式代入上式，则有 （ⅰ）f1?x??f2?x???0?x?
注意ut?x,t??f1??x?at???a??f2??x?at??a；ut?x,0???f2??x??f1??x??a??1?x?，有
（ⅱ）f2??x??f1??x???1?x? 并对x积分一次，得
f2?x??f1?x??1x?1???d??C ?0a1a与（ⅰ）式联立求解，得
11xC ??f2?x???0?x????d??1?022a211xC ??f1?x???0?x????d??1?022a2将其回代到通解中，即得（1.1）在（1.5）条件下的解：
11x?at（1.6） u?x,t? ???0?x?at???0?x?at???x?at?1???d?
22a即为法国数学家Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783)提出的著名的D’Alembert公式。
由D’Alembert公式还可以导出解的稳定性，即当初始条件（1.5）仅有微小的误差时，其解也只有微小的改变。如有两组初始条件：
?u1?x,0???0?x?,??u2?x,0???1?x?,~?x??u1?t?x,0???0~?x??u2?t?x,0???1???x???
~??，???~??，则 满足 ?0??011u1?x,t??u2?x,t??
1~?x?at?+1??x?at???~?x?at? ?0?x?at???011221x?at~???d? ???????112a?x?at即
111u1?x,t??u2?x,t????????2at??1?t??
222a显然，当t有限时，解是稳定的。
此外，由D’Alembert公式可以看出，解在?x0,t0?点，?t0?0?的值仅依赖于x轴上区间?x0?at0,x0?at0?内的初始值?0?x?，?1?x?，与其他点上的初始条件无关。故称区间?x0?at0,x0?at0?为点?x0,t0?的依存域。它
是过点?x0,t0?的两条斜率分别为?的直线在x轴上截得的区间。
对于初始轴t?0上的区间?x1,x2?，过x1点作斜率为
x?x1?at；过x1点作斜率为?1a1的直线a1的直线x?x2?at。它们和区间?x1,x2?一a起构成一个三角区域。此三角区域中任意点?x,t?的依存区间都落在
?x1,x2?内部。所以解在此三角形区域中的数值完全由区间?x1,x2?上的初
始条件确定，而与区间外的初始条件无关。这个三角形区域称为区间
?x1,x2?的决定域。在?x1,x2?上给定初始条件，就可以在其决定域中确定初值问题的解。
1.2显格式
现在构造（1.1）的差分逼近。取空间步长h和时间步长?，用两族平行直线
x?xj?jh，j?0,?1,?2,?，t?tn?n?，n?0,1,2,?
作矩形网络。于网点?xj,tn?处Taylor展开成
u?xj?1,tn??2u?xj,tn??u?xj?1,tn?h2?uxx?xj,tn??Oh2 ?utt?xj,tn??O?2
??u?xj,tn?1??2u?xj,tn??u?xj,tn?1??2??代入（1.1）,并略去截断误差，则得差分格式： （1.7）
?1n?1un?2unjj?uj?2?a2nnunj?1?2uj?uj?1h2
j?0,?1,?2,?，n?0,1,2,?
??这里unj表示u于网点xj,tn处的近似值。初值条件（1.5）用下列差分
方程近似：
（1.8） u0j??0?xj?
(完整版)大连理工大学高等数值分析偏微分方程数值解(双曲方程书稿)
