2013年高考数学一轮复习精品教学案14.4 不等式选讲（新课标人教
版，学生版）
【考纲解读】
1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
① a?b?a?b. ② a?b?a?c?c?b.
2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
ax?b?c;ax?b?c;x?a?x?b?c.
3．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．
【考点预测】
高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:
1.不等式选讲是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，又经常与其它知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.
2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持在选择题、填空题中考查,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】
1. 含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|＞a(a＞0)?f(x)＞a或f(x)＜－a； (2)|f(x)|＜a(a＞0)?－a＜f(x)＜a；
(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．
2．含有绝对值的不等式的性质 |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. 3．基本不等式
定理1：设a，b∈R，则a＋b≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a、b为正数，则
2
2
4．柯西不等式 (1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立． (2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则(?a2i)(?b2i)≥(?aibi)2，当且仅当i＝1i＝1i＝1nnnbi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立． a＋b2
≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
3
定理3：如果a、b、c为正数，则
a＋b＋c3
≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术－几何平均值不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数，则
a1＋a2＋…＋ann≥a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
n
5．不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等． 【例题精析】
考点一 含绝对值不等式的解法
例1. (2012年高考江西卷理科15)在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________. 【变式训练】
1. (2012年高考湖南卷理科10)不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.
考点二 不等式的证明与柯西不等式
例2.（2012年高考江苏卷21）已知实数x，y满足：|x?y|?【变式训练】 2.
2
2
115求证： ，|2x?y|?，|y|?．
3618 (2012
2
2
年高考湖北卷理科
2
2
6)设a,b,c,x,y,z是正数，且
a+b+c=10,x+y+z=40,ax+by+cz=20,则
a?b?c?( )
x?y?zA.
1113 B. C. D,
3424【易错专区】 问题：综合应用
例. (2012年高考辽宁卷理科24)已知f(x)?|ax?1|(a?R)，不等式f(x)3的解集为
{x|?2x1｝.
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)若|f(x)?2f()|
【课时作业】
x2k恒成立，求k的取值范围.
1.(2011年高考山东卷理科4)不等式|x?5|?|x?3|?10的解集为（ ） （A）[-5.7] （B）[-4,6] （C）(??,?5]?[7,??) （D）(??,?4]?[6,??)
2．（2010年高考陕西卷理科15）不等式x?3?x?2?3的解集为____________. 3．(2011年高考辽宁卷24)（本小题满分10分）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|. （I）证明：-3≤f（x）≤3；
（II）求不等式f（x）≥x-8x+15的解集.
4. (2011年高考全国新课标卷理科24)（本小题满分10分） 选修4-5不等选讲 设函数f(x)?x?a?3x,a?0（1）当a?1时，求不等式f(x)?3x?2的解集；(2)如果不等式f(x)?0的解集为xx??1，求a的值。
5.(2011年高考江苏卷21)（本小题满分10分）解不等式：x?|2x?1|?3
6．(2011年高考福建卷理科21)（本小题满分7分）设不等式2x-1＜1的解集为M． （I）求集合M；
（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．
7．（2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)?|x?a|。
（Ⅰ）若不等式f(x)?3的解集为?x|?1?x?5?，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f(x)?f(x?5)?m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。
8．（2010年高考江苏卷试题21）（本小题满分10分）
33设a、b是非负实数，求证：a?b?2
??ab(a2?b2)。
【考题回放】
1. (2012年高考陕西卷文科15)若存在实数x使|x?a|?|x?1|?3成立，则实数a的取值范围是
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