②若函数
f(x)为奇函数,且在x?0处有定义,则f(0)?0.
③奇函数在
y轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反.
④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.
〖补充知识〗函数的图象
(1)作图
利用描点法作图:
①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图:
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象. ①平移变换
h?0,左移h个单位k?0,上移k个单位y?f(x)????????y?f(x?h)y?f(x)????????y?f(x)?k
h?0,右移|h|个单位k?0,下移|k|个单位②伸缩变换
0???1,伸y?f(x)?????y?f(?x)
??1,缩0?A?1,缩y?f(x)?????y?Af(x)
A?1,伸③对称变换
y轴x轴??y?f(?x) y?f(x)????y??f(x) y?f(x)??直线y?x原点y?f(x)????y??f(?x) y?f(x)?????y?f?1(x) 去掉y轴左边图象y?f(x)????????????????y?f(|x|)
保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象y?f(x)??????????y?|f(x)|
将x轴下方图象翻折上去(2)识图
对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图
函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的
重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
(1)根式的概念
①如果xnn?a,a?R,x?R,n?1,且n?N?,那么x叫做a的n次方根.当n是奇数时,a的n次方根用
符号a表示;当n是偶数时,正数a的正的n次方根用符号na表示,负的n次方根用符号?na表示;0的n次方
根是0;负数a没有n次方根.
②式子na叫做被开方数.a为任意实数;a叫做根式,这里n叫做根指数,当n为奇数时,当n为偶数时, a?0.
③根式的性质:((2)分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是:amnn?a (a?0)a)n?a;当n为奇数时,nan?a;当n为偶数时, nan?|a|??.
??a (a?0) ?nam(a?0,m,n?N?,且n?1).0的正分数指数幂等于0.
②正数的负分数指数幂的意义是:a? mn1m1?()n?n()m(a?0,m,n?N?,且n?1).0的负分数指数幂没
aa有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质
①ar?as?ar?s(a?0,r,s?R) ②(ar)s?ars(a?0,r,s?R)
r③(ab)?arbr(a?0,b?0,r?R)
【2.1.2】指数函数及其性质
(4)指数函数
函数名称 定义 函数指数函数 y?ax(a?0且a?1)叫做指数函数 a?1 0?a?1 y?axy图象 y?ax (0,1)yy?1 y?1 (0,1) O 定义域 值域 xR (0,??) Ox过定点 奇偶性 单调性 图象过定点(0,1),即当x?0时,y?1. 在R上是减函数 非奇非偶 在R上是增函数 ax?1(x?0)函数值的 变化情况 ax?1(x?0)ax?1(x?0) ax?1(x?0)ax?1(x?0) ax?1(x?0)a变化对 图象的影响
在第一象限内,a越大图象越高;在第二象限内,a越大图象越低.
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
(1)对数的定义 ①若ax?N(a?0,且a?1),则x叫做以a为底N的对数,记作x?logaN,其中a叫做底数,N
叫做真数.
②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化:x(2)几个重要的对数恒等式
?logaN?ax?N(a?0,a?1,N?0).
loga1?0,logaa?1,logaab?b.
(3)常用对数与自然对数
常用对数:lgN,即log10(4)对数的运算性质 如果a①加法:logaN;自然对数:lnN,即logeN(其中e?2.71828…).
?0,a?1,M?0,N?0,那么
M?logaN?loga(MN) ②减法:logaM?logaN?logaM?logaMn(n?R) ④alogaN?N
MN
③数乘:nloga⑤logabMn?logbNn(b?0,且b?1) logaM(b?0,n?R) ⑥换底公式:logaN?logbab【2.2.2】对数函数及其性质
(5)对数函数
函数 名称 定义 函数对数函数 y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数 a?1 0?a?1 y?logaxyx? 1y x?1 y?logax图象 (1,0) O(1,0)x(0,??) Ox定义域 值域 过定点 奇偶性 R 图象过定点(1,0),即当x?1时,非奇非偶 y?0.
单调性 在(0,??)上是增函数 在(0,??)上是减函数 logax?0(x?1)函数值的 变化情况 logax?0(x?1) logax?0(x?1)logax?0(0?x?1)logax?0(x?1)logax?0(0?x?1) a变化对 图象的影响 (6)反函数的概念
设函数
在第一象限内,a越大图象越靠低;在第四象限内,a越大图象越靠高. y?f(x)的定义域为A,值域为C,从式子y?f(x)中解出x,得式子x??(y).如果对于y在C??(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么式子x??(y)表示x是y的函数,
中的任何一个值,通过式子x函数x??(y)叫做函数y?f(x)的反函数,记作x?f?1(y),习惯上改写成y?f?1(x).
(7)反函数的求法
①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式③将xy?f(x)中反解出x?f?1(y);
?f?1(y)改写成y?f?1(x),并注明反函数的定义域.
(8)反函数的性质 ①原函数
②函数
y?f(x)与反函数y?f?1(x)的图象关于直线y?x对称.
y?f(x)的定义域、值域分别是其反函数y?f?1(x)的值域、定义域.
y?f(x)的图象上,则P'(b,a)在反函数y?f?1(x)的图象上.
③若P(a,b)在原函数④一般地,函数
y?f(x)要有反函数则它必须为单调函数.
〖2.3〗幂函数
(1)幂函数的定义 一般地,函数
y?x?叫做幂函数,其中x为自变量,?是常数.
(2)幂函数的图象(见课本) (3)幂函数的性质
①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于
y轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.
②过定点:所有的幂函数在(0,??)都有定义,并且图象都通过点(1,1). ③单调性:如果??0,则幂函数的图象过原点,并且在[0,??)上为增函数.如果??0,则幂函数的图象在(0,??)y轴.
?q(其中p,q互质,p和q?Z),p上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与
④奇偶性:当?为奇数时,幂函数为奇函数,当?为偶数时,幂函数为偶函数.当?
若则
p为奇数q为奇数时,则y?xqp是奇函数,若
p为奇数q为偶数时,则y?xqp是偶函数,若
p为偶数q为奇数时,
y?xqp是非奇非偶函数.
⑤图象特征:幂函数在直线
y?x?,x?(0,??),当??1时,若0?x?1,其图象在直线y?x下方,若x?1,其图象
y?x上方,当??1时,若0?x?1,其图象在直线y?x上方,若x?1,其图象在直线y?x下方.
〖补充知识〗二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:
f(x)?ax2?bx?c(a?0)②顶点式:f(x)?a(x?h)2?k(a?0)③两根式:
f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0)(2)求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时,宜用一般式.
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求
(3)二次函数图象的性质 ①二次函数
f(x)更方便.
f(x)?ax2?bx?c(a?0)的图象是一条抛物线,对称轴方程为x??b,顶点坐标是2ab4ac?b2(?,).
2a4a②当a?0时,抛物线开口向上,函数在(??,?bbb时,]上递减,在[?,??)上递增,当x??2a2a2a4ac?b2fmin(x)?4a时,
;当a?0时,抛物线开口向下,函数在(??,?bbb在[?当x??]上递增,,??)上递减,
2a2a2a4ac?b2fmax(x)?4a.
③二次函数
f(x)?ax2?bx?c(a?0)当??b2?4ac?0时,图象与x轴有两个交点
M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2|?|x1?x2|?(4)一元二次方程ax2?. |a|?bx?c?0(a?0)根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两实根为x1,x2,且x1?x2.令f(x)?ax2?bx?c,从以下四个方
人教版高中数学知识点总结2018
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