②若函数
f(x)为奇函数，且在x?0处有定义，则f(0)?0．
③奇函数在
y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
〖补充知识〗函数的图象
（1）作图
利用描点法作图：
①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换
h?0,左移h个单位k?0,上移k个单位y?f(x)????????y?f(x?h)y?f(x)????????y?f(x)?k
h?0,右移|h|个单位k?0,下移|k|个单位②伸缩变换
0???1,伸y?f(x)?????y?f(?x)
??1,缩0?A?1,缩y?f(x)?????y?Af(x)
A?1,伸③对称变换
y轴x轴??y?f(?x) y?f(x)????y??f(x) y?f(x)??直线y?x原点y?f(x)????y??f(?x) y?f(x)?????y?f?1(x) 去掉y轴左边图象y?f(x)????????????????y?f(|x|)
保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象y?f(x)??????????y?|f(x)|
将x轴下方图象翻折上去（2）识图
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的
重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
①如果xnn?a,a?R,x?R,n?1，且n?N?，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用
符号a表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号?na表示；0的n次方
根是0；负数a没有n次方根．
②式子na叫做被开方数．a为任意实数；a叫做根式，这里n叫做根指数，当n为奇数时，当n为偶数时， a?0．
③根式的性质：(（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：amnn?a (a?0)a)n?a；当n为奇数时，nan?a；当n为偶数时， nan?|a|??．
??a (a?0) ?nam(a?0,m,n?N?,且n?1)．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：a? mn1m1?()n?n()m(a?0,m,n?N?,且n?1)．0的负分数指数幂没
aa有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质
①ar?as?ar?s(a?0,r,s?R) ②(ar)s?ars(a?0,r,s?R)
r③(ab)?arbr(a?0,b?0,r?R)
【2.1.2】指数函数及其性质
（4）指数函数
函数名称 定义 函数指数函数 y?ax(a?0且a?1)叫做指数函数 a?1 0?a?1 y?axy图象 y?ax (0,1)yy?1 y?1 (0,1) O 定义域 值域 xR (0,??) Ox过定点 奇偶性 单调性 图象过定点(0,1)，即当x?0时，y?1． 在R上是减函数 非奇非偶 在R上是增函数 ax?1(x?0)函数值的 变化情况 ax?1(x?0)ax?1(x?0) ax?1(x?0)ax?1(x?0) ax?1(x?0)a变化对 图象的影响
在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义 ①若ax?N(a?0,且a?1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x?logaN，其中a叫做底数，N
叫做真数．
②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：x（2）几个重要的对数恒等式
?logaN?ax?N(a?0,a?1,N?0)．
loga1?0，logaa?1，logaab?b．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lgN，即log10（4）对数的运算性质 如果a①加法：logaN；自然对数：lnN，即logeN（其中e?2.71828…）．
?0,a?1,M?0,N?0，那么
M?logaN?loga(MN) ②减法：logaM?logaN?logaM?logaMn(n?R) ④alogaN?N
MN
③数乘：nloga⑤logabMn?logbNn(b?0,且b?1) logaM(b?0,n?R) ⑥换底公式：logaN?logbab【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数
函数 名称 定义 函数对数函数 y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数 a?1 0?a?1 y?logaxyx? 1y x?1 y?logax图象 (1,0) O(1,0)x(0,??) Ox定义域 值域 过定点 奇偶性 R 图象过定点(1,0)，即当x?1时，非奇非偶 y?0．
单调性 在(0,??)上是增函数 在(0,??)上是减函数 logax?0(x?1)函数值的 变化情况 logax?0(x?1) logax?0(x?1)logax?0(0?x?1)logax?0(x?1)logax?0(0?x?1) a变化对 图象的影响 (6)反函数的概念
设函数
在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高． y?f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y?f(x)中解出x，得式子x??(y)．如果对于y在C??(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x??(y)表示x是y的函数，
中的任何一个值，通过式子x函数x??(y)叫做函数y?f(x)的反函数，记作x?f?1(y)，习惯上改写成y?f?1(x)．
（7）反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将xy?f(x)中反解出x?f?1(y)；
?f?1(y)改写成y?f?1(x)，并注明反函数的定义域．
（8）反函数的性质 ①原函数
②函数
y?f(x)与反函数y?f?1(x)的图象关于直线y?x对称．
y?f(x)的定义域、值域分别是其反函数y?f?1(x)的值域、定义域．
y?f(x)的图象上，则P'(b,a)在反函数y?f?1(x)的图象上．
③若P(a,b)在原函数④一般地，函数
y?f(x)要有反函数则它必须为单调函数．
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义 一般地，函数
y?x?叫做幂函数，其中x为自变量，?是常数．
（2）幂函数的图象(见课本) （3）幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于
y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在(0,??)都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果??0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,??)上为增函数．如果??0，则幂函数的图象在(0,??)y轴．
?q（其中p,q互质，p和q?Z），p上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与
④奇偶性：当?为奇数时，幂函数为奇函数，当?为偶数时，幂函数为偶函数．当?
若则
p为奇数q为奇数时，则y?xqp是奇函数，若
p为奇数q为偶数时，则y?xqp是偶函数，若
p为偶数q为奇数时，
y?xqp是非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数在直线
y?x?,x?(0,??)，当??1时，若0?x?1，其图象在直线y?x下方，若x?1，其图象
y?x上方，当??1时，若0?x?1，其图象在直线y?x上方，若x?1，其图象在直线y?x下方．
〖补充知识〗二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：
f(x)?ax2?bx?c(a?0)②顶点式：f(x)?a(x?h)2?k(a?0)③两根式：
f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0)（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求
（3）二次函数图象的性质 ①二次函数
f(x)更方便．
f(x)?ax2?bx?c(a?0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x??b,顶点坐标是2ab4ac?b2(?,)．
2a4a②当a?0时，抛物线开口向上，函数在(??,?bbb时，]上递减，在[?,??)上递增，当x??2a2a2a4ac?b2fmin(x)?4a时，
；当a?0时，抛物线开口向下，函数在(??,?bbb在[?当x??]上递增，,??)上递减，
2a2a2a4ac?b2fmax(x)?4a．
③二次函数
f(x)?ax2?bx?c(a?0)当??b2?4ac?0时，图象与x轴有两个交点
M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2|?|x1?x2|?（4）一元二次方程ax2?． |a|?bx?c?0(a?0)根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两实根为x1,x2，且x1?x2．令f(x)?ax2?bx?c，从以下四个方
人教版高中数学知识点总结2024
