高中数学第一章常用逻辑用语1.4.1_1.4.2全称量词与存在量词作业新人教A版选修1_1

1.4 全称量词与存在量词

1．4.1 全称量词

1．4.2 存在量词

? 下列语句不是全称命题的是( )

A．任何一个实数乘零都等于零 B．自然数都是正整数

C．高二(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个向量都有大小

? 下列命题是特称命题的是( ) A．偶函数的图像关于y轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体 C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在实数大于或等于3

? 下列命题是全称命题且是真命题的是( ) A．?x∈R，x2>0

2

B．?x∈Q，x∈Q

2

C．?x0∈Z，x0>1

22

D．?x，y∈R，x＋y>0

? 下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( ) A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x0，使x20>0

C．任意一个无理数的平方必是无理数

1

D．存在一个负数x0，使>2

x0

? 下列四个命题为真命题的是( ) A．?x∈R，x2＋3＜0

2

B．?x∈N，x≥1

5

C．?x0∈Z，x0＜1

2

D．?x0∈Q，x0＝3

2

? 已知p：?x0∈R，x0＋2ax0＋a≤0，若p是假命题，则实数a的取值范围是________________．

? 命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“?”或“?”可表述为

________________________________________________________________________．

? [2017·惠州高二期末] 下列命题中的假命题是( ) A．?x0∈R，lg x0>0 B．?x0∈R，tan x0＝1

3

C．?x∈R，x>0

xD．?x∈R，2>0

? 下列命题中的假命题是( ) A．?x0∈R，3x20－8x0＋9＝0 B．?x0∈(0，1)，lg x0>ln x0

?1?C．?x∈(0，＋∞)，???2?

2

x1x??>?? ?3?

D．?x∈R，x－3x＋4>0

10 [2017·大连高二期末] 下列命题中的真命题为( ) ○

A．?x0∈Z，1<4x0<3 B．?x0∈Z，5x0＋1＝0

2

C．?x∈R, x－1＝0

2

D．?x∈R，x＋x＋2>0 11 给出下列命题： ○

①存在x0<0，使|x0|>x0；

②对于一切x<0，都有|x|>x；

*

③已知an＝2n，bn＝3n，则对于任意的n∈N，都有an≠bn；

*

② 已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，则对于任意的n∈N，都有A∩B＝?. 其中所有真命题的序号为( ) A．①② B．②③

C．①②③ D．①②③④

12 [2017·宁夏育才中学高二期末] 若命题“?x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则k○

的取值范围是( )

A．－4≤k≤0 B．－4≤k<0 C．－4

13 特称命题“?x0∈R, x2○0

22

14 将命题“a＋b＋2ab＝(a＋b)2”改写成全称命题是________________________． ○

15 [2017·惠州高二期末] 已知函数f(x)＝4|a|x－2a＋1.若命题“?x0∈(0，○1)，f(x0)＝0”是真命题，则实数a的取值范围为________．

16 指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假． ○

x

(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，都有a>0； (2)对任意实数x1，x2，若x1

2

(4)?x0∈R，x0＋1<0.

17 若方程cos 2x＋2sin x＋a＝0有实数解，求实数a的取值范围． ○

18 若存在x0∈R，使ax2○0＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是( ) A．a＜1 B．a≤1

C．－1＜a＜1 D．－1＜a≤1 19 已知函数f(x)＝x2－2x＋5. ○

(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由； (2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围．

1．C [解析] “高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．

2．D [解析] “存在”是存在量词．

3．B [解析] A，B，D中的命题均为全称命题，但A，D中的命题是假命题． 4．B

222

5．C [解析] 由于?x∈R，x≥0，所以x＋3≥3，所以命题“?x∈R，x＋3＜0”为

22

假命题；由于0∈N，当x＝0时，x≥1不成立，所以命题“?x∈N，x≥1”是假命题；由

552

于－1∈Z，当x0＝－1时，x0＜1，所以命题“?x0∈Z，x0＜1”为真命题；由于使x＝3成

2

立的x只有±3，而它们都不是有理数，所以命题“?x0∈Q，x0＝3”为假命题．

2

6．(0，1) [解析] 由Δ＝4a－4a≥0，得a≤0或a≥1. ∵命题p是假命题，∴00

3

8．C [解析] ∵x∈R，∴当x为负数时，x<0，故选C.

2

9．A [解析] 选项A中，Δ＝64－4×3×9＝－44，则方程3x－8x＋9＝0无实根，故选A.

1?27?22

10．D [解析] x＋x＋2＝?x＋?＋>0 恒成立，故命题“?x∈R，x＋x＋2>0 ”是

?2?4

真命题．

11．C [解析] 易知命题①②为真命题；③中，由于an－bn＝2n－3n＝－n，所以对于

*

任意的n∈N，都有an

12．C [解析] 当k＝0时，有－1＜0恒成立；

22

当k≠0时，令y＝kx－kx－1，∵y＜0恒成立，∴抛物线y＝kx－kx－1开口向下，且

2

与x轴没有公共点，∴k＜0，且Δ＝k＋4k＜0，解得－4＜k＜0.

综上所述，k的取值范围为－4＜k≤0.

13．真 [解析] 不等式化为x0(x0－1)<0，解得0

222

14．对任意a，b∈R，都有a＋b＋2ab＝(a＋b)

115．a> [解析] 当a≠0时，易知f(x)在R上单调递增，所以由“?x0∈(0，1)，f(x0)

2

＝0”是真命题，得

?a>0，?

f(0)·f(1)<0?(1－2a)(4|a|－2a＋1)<0??或

??（2a＋1）（2a－1）>0

??a<0，1??a>. 当a＝0时，f(x)＝1，显然不满足题意．故a的取值范围是

2??（6a－1）（2a－1）<0

1a>. 2

16．解：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．

x

(1)∵a>0 (a>0，且a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题． (2)当x1＝0，x2＝π时，x1

但tan 0＝tanπ，∴命题(2)是假命题． (3)y＝|sin x|是周期为π的周期函数， ∴命题(3)是真命题．

2

(4)对任意x∈R，x＋1>0，∴命题(4)是假命题．

22

17．解： 因为cos 2x＋2sin x＋a＝0，所以a＝2sinx－1－2sin x＝2(sinx－sin x)

1?231?233??－1，所以a＝2?sin x－?－.又－1≤sin x≤1，所以－≤2?sin x－?－≤3.故当－2?2?22?2?

3?3?≤a≤3时，方程cos 2x＋2sin x＋a＝0有实数解，所以，所求实数a的取值范围是?－，3?. 2?2?

18．A [解析] 当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax0＋2x0＋a＜0.当a＞0时，需满足Δ2

＝4－4a＞0，得－1＜a＜1，故0＜a＜1.综上所述，实数a的取值范围是a＜1.

19．解：(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，

22

即m＞－x＋2x－5＝－(x－1)－4.

2

要使m＞－(x－1)－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时m＞－4.

(2)不等式m－f(x)＞0可化为m＞f(x)，若存在一个实数x0使不等式m＞f(x0)成立，只

2

需m＞f(x)min.又f(x)＝(x－1)＋4，

所以f(x)min＝4，所以m＞4.

所以所求实数m的取值范围是(4，＋∞).

2