【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
15．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式
1解析：?
3【解析】 【分析】
先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式f?1?x??f?x?m?，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m取值范围，即得结果. 【详解】
??x2?1,0?x?1,因为当x?0时 f?x???为单调递减函数，又f??x??f?x?，所以函x?2?2,x?1,数f?x?为偶函数，因此不等式f?1?x??f?x?m?恒成立，等价于不等式
f?1?x??f?x?m?恒成立，即1?x?x?m，平方化简得2?m?1?x?1?m2，
当m?1?0时，x?R； 当m?1?0时，x?1?m对x??m,m?1?恒成立，2m?1?1?m11?m????1?m??； 2331?m1?m1?m?（舍）； 对x??m,m?1?恒成立，m?22313当m?1?0时，x?综上?1?m??，因此实数m的最大值是?. 【点睛】
解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为fg?x??fh?x?的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g?x?与h?x?的取值应在外层函数的定义域内.
13????16．【解析】【分析】先利用已知求出的值再求点D的坐标【详解】由图像可知点在函数的图像上所以即因为点在函数的图像上所以因为点在函数的图像上所以又因为所以点的坐标为故答案为【点睛】本题主要考查指数对数和幂函
?11?解析：?,?
?24?【解析】
【分析】
先利用已知求出xA,xB，yC的值，再求点D的坐标. 【详解】
由图像可知，点A?xA,2?在函数
y?log22x的图像上，所以
2?log22xA，即
?2?1xA???2???2.
??因为点B?xB,2?在函数y?x2的图像上，所以2?x2，xB?4.
B112?2??2?1?因为点C?4,yC?在函数y??的图像上，所以yC??. ???2??2?4????又因为xD?xA?x411，yD?yC?， 24?11?所以点D的坐标为?,?.
?24?故答案为?【点睛】
本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
?11?,? 2?4?17．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7
解析：7 【解析】 【分析】 【详解】
设则因为f?所以
,
故答案为7.
， ，
?1??x???2??1?f??x??2， ?2?，
18．【解析】【分析】分别求出的值域对分类讨论即可求解【详解】的值域为当函数值域为此时的值域相同；当时当时当所以当时函数的值域不同故的取值
范围为故答案为:【点睛】本题考查对数型函数的值域要注意二次函数的值 解析：?0,1?
【解析】 【分析】
分别求出f(x),g(x)的值域，对a分类讨论，即可求解. 【详解】
a?R?,f?x??log2?x2?a??log2a，
f?x?的值域为[log2a,??)，
2g?x??f?fx?log([f(x)]?a)， ???2??2当0?a?1,log2a?0,[f(x)]?0,g(x)?log2a，
函数g(x)值域为[log2a,??)， 此时f(x),g(x)的值域相同；
22当a?1时，log2a?0,[f(x)]?(log2a)，
g(x)?log2[(log2a)2?a]，
2当1?a?2时，log2a?1,?log2a?(log2a)?a 2当a?2,log2a?1,(log2a)?log2a，
log2a?(log2a)2?a，
所以当a?1时，函数f(x),g(x)的值域不同， 故a的取值范围为?0,1?. 故答案为:?0,1?. 【点睛】
本题考查对数型函数的值域，要注意二次函数的值域，考查分类讨论思想，属于中档题.
19．【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质分别求得实数的取值范围即可求解得到答案【详解】由题意根据指数函数的性质可得由对数函数的运算公式及性质可得且所以abc从小到大的关系是故答案为：【点睛 解析：b?c?a
【解析】 【分析】
根据指数函数和对数函数的图象与性质，分别求得实数a,b,c的取值范围，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，根据指数函数的性质，可得a?1.10.1?1.10?1，
由对数函数的运算公式及性质，可得b?log122111?log1()2?， 22221，且c?ln2?lne?1， 2所以a，b，c从小到大的关系是b?c?a. 故答案为：b?c?a. 【点睛】 c?ln2?lne?本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，求得实数a,b,c的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么 解析：0?b?2
【解析】 【分析】 【详解】
函数f(x)?2?2?b有两个零点，
和
画出
和
的图象有两个交点，
的图象，如图，要有两个交点，那么
x
三、解答题
21．（1）?x|0?x?1?；（2）k??【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：?1?由题意得f?x?1??f?x??log2?x?1??log2x，然后解不等式即可(2) 图
1. 2象关于y轴对称即为偶函数，即：log22结果
??x?1?kx?log22x?1?kx成立，从而求得
???解析：（1）因为f?x?1??f?x??1，所以log2?x?1??log2x?1，即：
log2x?1x?1?1，所以?2，由题意，x?0，解得0?x?1，所以解集为xx?x|0?x?1?.
（2）g?x??f?2x?1??kx ?log2?2x?1??kx，由题意，g?x?是偶函数，所以
x?xx?x?R，有g??x??g?x?，即：log2?2?1??kx?log2?2?1??kx成立，所以
2?x?1?xlog2?2?1??log2?2?1??2kx，即：log2x?2kx，所以log22?2kx，
2?1?x所以?x?2kx，?2k?1?x?0，所以k??1. 222．(1)f?x?为奇函数；(2)f?x?在???,0?上单调递减，证明见解析；(3)??4,?1?. 【解析】 【分析】
（1）令y??1，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；
（2）先证明当x?0时，f(x)?0，再利用已知和单调函数的定义，证明函数f(x)在
?0,???上的单调性，根据函数的奇偶性，即可得到函数f?x?在???,0?上的单调性；
（3）先利用赋值法求得【详解】
解：（1）令y??1，则f??x??f?x?f??1?. ∵f??1???1，∴f??x???f?x? ∴函数f?x?为奇函数；
(2)函数f?x?在???,0?上单调递减. 证明如下：
由函数f?x?为奇函数得f?1???f??1??1
1f??3???3再利用函数的单调性解不等式即可
9f?x???11?1?1f?0,1x?0,1?1??当，????，??时， fxx?????x?所以当x?0时，f?x??0，
1x2?x??1，∴0?f?2??1， 设0?x1?x2，则x1?x1?
[典型题]高中必修一数学上期末第一次模拟试题带答案
