因式分解教案
教学目标 1.理解因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，是整式乘法的逆变形．
2.灵活应用乘法公式进行分解因式，注意因式分解的彻底性 重点：能利用因式分解的常用方法进行分解因式 难点：灵活地应用因式分解的常用方法分解因式 1. 提问：什么是因式分解？
答：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式
2.因式分解应该注意的问题：
（1）一个多项式进行分解因式，首先应考虑有没有公因式，?如果有公因式应提取，而且要提取彻底． （2）分解因式要分解到不能再分解为止，?一般没有特殊说明是在有理数范围内分解因式． （3）分解结果中的每一个因式应当是整式．
（4）分解结果若出现相同因式，应写成幂的形式．
因式分解的方法：
知识点1 提公因式法
多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法. 例：(1).x2-x=x(x-1) (2).8a2b-4ab+2a=_____ 探究交流
下列变形是否是因式分解？为什么，
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(1)3xy-xy+y=y(3x-x)；
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(2)x-2x+3=(x-1)+2；
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(3)xy+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；
n2n+2n+1n
(4)x(x-x+1)=x-x+x.
点拨 (1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪. (2)不是因式分解，不满足因式分解的含义
(3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等. (4)不是因式分解，是整式乘法.
知识点2 公式法
平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)
即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.
例：(1)4x2-9=(2x) 2-32=(2x+3)(2x-3) (2)（x2-y2）（x2+y2）=_____________. (3)492×398=_______.
完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.
其中，a±2ab+b叫做完全平方式.
即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
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例：（1）4x-12xy+9y=(2x)-2·2x·3y+(3y)=(2x-3y). (2)如果x2+8xy+M是一个完全平方式，那么M是（ ） A.4y2 B.8y2 C.16y2 D.y2 探究交流
下列变形是否正确？为什么？
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(1)x-3y=(x+3y)(x-3y)；
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(2)4x-6xy+9y=(2x-3y)；
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(3)x-2x-1=(x-1).
点拨 (1)不正确，目前在有理数范围内不能再分解.
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(2)不正确，4x-6xy+9y不是完全平方式，不能进行分解.
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(3)不正确，x-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围
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知识点3 因式分解的灵活运用
公式法的灵活运用：
公式法中的公式有平方差公式和完全平方公式，我们这节课学习的目标是将两个公式综合运用来攻克数学中的题目。在综合运用时，我们有时要对式子进行展开合并等操作，我们要充分发挥我们的脑细胞去探索。 例题讲解：
（1）(x2+y2)2-4x2y2; (2)4a2+20ab+25b2;
(3)(a+b) 2-4(a+b-4); (4)x2-y2-5x-5y.
练一练
（x2+4）2-16x2.
提公因式法与公式法的综合运用：
在因式分解的计算中我们有时不止运用一种方法，我们需要掌握它们的综合运用，提公因式法与公式法的综合运用为因式分解中常用习题。 例题讲解：
（1）x3-4xy2; (2)2x3y+8x2y2+8xy3.
练一练：
（1）a3-a; (2)x2y-2y2x+y3.
知识点4 分组分解法
(1)形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n) =(m+n)(a+b)
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(2)形如：x-y+2x+1=(x+2x+1)-y
=(x+1)-y
=(x+y+1)(x-y+1).
把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法.
知识规律小结
(1)分组分解法一般分组方式不惟一.
例如：将am+an+bm+bn因式分解，方法有两种：
方法1：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b). 方法2：am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b).
(2)分组除具有尝试性外，还要具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者分组后能运用公式.
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例如：am+an+bm+bn分组后有公因式；x-y+2x+1分组后能运用公式.
分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：
(1)按字母分组； (2)按次数分组； (3)按系数分组.
例：把下列各式因式分解. (1) am+bm+an+bn；
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(2)x-y+x+y；
(3)2ax-5by+2ay-5bx.
(4)2ax+2ay+3bx+4cy+3by+4cx.
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知识点5 关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解（又名十字相乘法）
x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
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事实上：x+(p+q)x+pq
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=x+px+qx+pq
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=(x+px)+(qx+pq) =x(x+p)+q(x+p) =(x+p)(x+q). 2
∴x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
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利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q时，这个式子化成x+2px+p或22
x+2qx+q，是完全平方式，可以运用公式分解因式.
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例如：把x+3x+2分解因式.
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(分析)因为二次三项式x+3x+2的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，
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这是一个x+(p+q)x+pq型式子.
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解：x+3x+2=(x+1)(x+2)
典型热点考题：1.把下列各式因式分解。 （1）x2-2x-15; (2)x2-5xy+6y2. 点拨：（1）常数项-15可看作3×（-5），且3+（-5）=-2恰为一次项系数；
(2)尝试着自己分析一下，I believe you can do it! 本章知识点小结：先看是否有公因式或是否能使用公式法；三项一般使用十字相乘法；四项及以上一般先分组再使用提公因式法或公式法。
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因式分解教案3[1]
