设，由，，
可得，，，
∴，
∵∵∴∵∴∵
是的中点，∴， ， ，平面平面
平面
， ，
.
，
，
∴平面
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．
设是平面的法向量，
由令又∴
由图形知二面角∴二面角
，则
是平面
．
，得，
的法向量，
，
为钝角，
的余弦值为.
20. 已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右顶点，点
满足．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线经过点且与交于不同的两点、，试问：在轴上是否存在点，使得直线
- 16 -
与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
（2）
，定值为1.
【答案】（1）【解析】试题分析：
.......................................
，根据此式的特点可得当
试题解析： （Ⅰ）依题意得∴解得∵
．
，
、
，
， ，
时，
为定值．
∴∴
，
，
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）假设存在满足条件的点.
当直线与轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意. 因此直线的斜率存在，设直线的方程为
，
由消去整理得
，
设
、
，
- 17 -
则，，
∵
，
∴要使对任意实数，此时
故在轴上存在点
．
为定值，则只有，
，使得直线与直线的斜率的和为定值．
点睛：解决解析几何中定值问题的常用方法
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接对所给要证明为定值的解析式进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量得到常数，从而证明得到定值，这是解答类似问题的常用方法． 21. 已知函数（Ⅰ）函数
，其中
．
的图象能否与轴相切？若能，求出实数a，若不能，请说明理由；
，不等式
（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意恒成立．
【答案】（1）不能（2） 【解析】试题分析： （Ⅰ）假设函数
的图象能与轴相切．设切点为
，根据导数的几何意义得到关于的方程，
然后判断此方程是否有解即可得到结论．（Ⅱ）将不等式变形为
,设
意
恒成立，故只需函数在R上恒成立即可，由
，即为
试题解析： （Ⅰ）∵
，
成立的必要条件，然后再证
时，
，则问题等价于
在R上单调递增，因此可得
即可得到结论．
对任
- 18 -
∴假设函数
．
的图象与轴相切于点
，
则有， 即．
显然∵∴方程
，将
，
代入方程中可得．
无解．
的图象都不能与轴相切．
，
在R上恒成立．
，则上式等价于
对任意
， 恒成立，
故无论a取何值，函数
（Ⅱ）由题意可得原不等式可化为故不等式设要使
只需函数在上单调递增，
∴则∴
在
在，解得
上恒成立．
，
．
上恒成立的必要条件是：时，，则
，
单调递减；当
．
，
下面证明：当设当∴则当
时，时，
恒成立．
，，即
时，，单调递增．
；
- 19 -
当时，，．
∴所以实数点睛：
恒成立．
的最大整数值为3．
（1）解决探索性问题时，可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，若得到矛盾，则假设不成立；若得不到矛盾，则假设成立． （2）解答本题的关键是构造函数为
，将问题转化为函数
单调递增的问题处理，然后转化
恒成立，可求得实数a的值．
（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分.
22. 已知直线的参数方程为
（为参数，
），以坐标原点为极点，以轴，射线
，
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
分别与曲线交于(Ⅰ)求证：(Ⅱ)当
时，若
三点（不包括极点）. ；
两点在直线上，求与的值.
.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)【解析】试题分析：
(Ⅰ)由曲线C的极坐标方程可得点正确．(Ⅱ)根据
的极径，即得到，计算后即可证得结论
可求得点B,C的极坐标，转化为直角坐标后可得直线BC的直角坐标方程，
结合方程可得与的值． 试题解析：
（Ⅰ）证明：依题意，
，
，
，
则．
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广东省六校(广州二中,深圳实验,珠海一中,中山纪念,东莞中学,惠州一中)2018届第三次联考数学(理)
