精选
等差数列及其前n项和
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分) 1.已知A.1
为等差数列,其前n项和为Sn,若a3=6,S3=15,则公差d等于 ( )
B.2
C.3
=
D.4
=15,解得a2=5,故公差d=a3-a2=6-5=1.
【解析】选A.由题意可得,S3=
2.(2016·雅安模拟)若等差数列{an}的前n项和为Sn且S4=S18,则S22等于 ( ) A.0
B.12
C.-1
D.-12
【解析】选A.设等差数列的公差为d,由S4=S18得 4a1+
d=18a1+
d,a1=-d=22×
d,
+22×
d=0.
所以S22=22a1+
【一题多解】解答本题,还有以下解法:
选A.设Sn=An2+Bn,由题意知,16A+4B=324A+18B,解得B=-22A,所以S22=22(22A+B)=0. 【加固训练】在等差数列{an}中,a9=a12+6,则数列{an}的前11项和S11= ( ) A.24
B.48
C.66
D.132
【解析】选D.因a9=a12+6及等差数列通项公式得,2(a1+8d)=a1+11d+12,整理得a1+5d=12=a6,所以S11=
=
=11×12=132.
,且
是等差数列,则
3.(2016·厦门模拟)已知数列{an}中,a3=,a7=a5= ( ) A.
B.
C.
D.
【解析】选B.设等差数列则
=
+4d,
的公差为d,
可编辑
精选
所以=+4d,解得d=2.
所以解得a5=
=.
+2d=10,
4.(2016·石家庄模拟)数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列且bn=an+1-an(n∈N*).若b3=-2,b10=12,则a8= ( ) A.0
B.3
C.8
D.11
【解析】选B.因为{bn}是等差数列,且b3=-2,b10=12, 故公差d=
=2.于是b1=-6,
且bn=2n-8(n∈N*),即an+1-an=2n-8.
所以a8=a7+6=a6+4+6=a5+2+4+6=…=a1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6=3.
5.数列{an}中相邻两项an与an+1是方程x2+3nx+bn=0的两根,已知a10=-17,则b51等于 ( ) A.5 760
B.5 840 C.5 920
D.6 000
【解析】选B.由根与系数的关系可知an+an+1=-3n,an·an+1=bn,由an+an+1=-3n,有an+1+an+2=-3(n+1),故an+2-an=-3,故{a2n}为等差数列,公差为d=-3,又a10=-17,故a2=-5,所以a2k=-5-3(k-1),故a52=-5-3(26-1)=-80,a51=-3×51-a52=80-153=-73,故b51=a51·a52=-73×(-80)=5840. 6.(2016·益阳模拟)设数列{an}是等差数列,且a4=-4,a9=4,Sn是数列{an}的前n项和,则 ( ) A.S5 B.S5=S6 D.S7=S6 【解析】选C.因为a4=-4,a9=4,所以a4+a9=0,即a6+a7=0,所以S7=S5+a6+a7=S5. 7.(2016·广州模拟)设正项数列{an}的前n项和是Sn,若{an}和{( ) A. B. C. 可编辑 }都是等差数列,且公差相等,则a1等于 D. 精选 【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,则Sn=n2+n,所以=, 又因为数列{}是等差数列,则是关于n的一次函数(或者是常数),则a1-=0,=n,从而数 列{}的公差是,则=d,解得d=0(舍去)或d=,故a1=. 是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为 【加固训练】(2016·长治模拟)等差数列{an}中,( ) A.{1} B. C.= D. 是与n无关的常数m,所以a1+(n-1)d=ma1+m(2n-1)d 【解析】选B.等差数列{an}中,设 对任意n恒成立,即(2md-d)n+(ma1-md+d-a1)=0对任意n恒成立, 故 由第一个方程得d=0或者m=.若d=0,代入第二个方程可得 m=1(因为a1≠0);若m=,代入第二个方程得d=a1. 二、填空题(每小题5分,共15分) 8.(2016·厦门模拟)已知等差数列{an}中,a1+a3+a8=【解析】由a1+a3+a8=3(a1+3d)= ,则a1+3d= ,那么cos(a3+a5)= . ,所以cos(a3+a5)=cos(2a1+6d)= cos答案:- =-cos=- . 9.若等差数列{an}满足a6+a7+a8>0,a6+a9<0,则当n= 时,{an}的前n项和最大. 【解析】由等差数列的性质可得a6+a7+a8=3a7>0,即a7>0;而a6+a9=a7+a8<0,故a8<0.所以数列{an}的前7项和最大. 答案:7 10.(2016·南昌模拟)已知等差数列 的公差d>0,若a1+a2+…+a2015=2015am(m∈N*),则m= . 可编辑 精选 【解析】因为数列{an}是等差数列,所以a1+a2+…+a2015=2015a1+ d=2015(a1+1007d),am=a1+(m-1)d,根据题意得,2015(a1+1007d)= 2015[a1+(m-1)d],解得m=1008. 答案:1008 (20分钟 40分) 1.(5分)在等差数列A.6 中,已知a3+a8=6,则3a5+a7= ( ) C.18 D.24 B.12 【解析】选B.由等差数列性质知3a5+a7=2a5+(a5+a7)=2a5+2a6= 2(a5+a6)=2(a3+a8)=12. 2.(5分)(2016·大同模拟)设等差数列则【解析】= = =. + + = . = + = = 的前n项和为Sn,等差数列 的前n项和为Tn,若 = , 答案: 3.(5分)(2016·长沙模拟)已知函数f(x)=cosx(x∈(0,2π))有两个不同的零点x1,x2(x1 【解题提示】函数f(x)=cosx(x∈(0,2π))有两个不同的零点x1,x2,可知x1=,x2=π,因为方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,需要分两种情况进行讨论:m>0和m<0,再利用等差数列的性质进行求解. 【解析】函数f(x)=cosx(x∈(0,2π))有两个不同的零点x1,x2,所以x1=,x2=π, 因为方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列, 可编辑 精选 若m>0,则由余弦函数的图象知x3,,π,x4构成等差数列, 可得公差d=-=π,则x3=-π=-<0,显然不可能; 若m<0,则由余弦函数的图象知,x3,x4,π构成等差数列,可得3d=-,解得d=, 所以x3=+=答案:- ,m=cosx3=cosπ=-. 4.(12分)(2016·惠州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=,an=-2SnSn-1(n≥2且n∈N*). (1)求证:数列(2)求Sn和an. 【解析】(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2SnSn-1,① 所以Sn(1+2Sn-1)=Sn-1. 由上式知若Sn-1≠0,则Sn≠0. 因为S1=a1≠0, 由递推关系知Sn≠0(n∈N*), 由①式得所以 -=2(n≥2). = =2,公差为2. 是等差数列. 是等差数列,其中首项为 = (2)由(1)可得因为所以Sn= . +2(n-1)=2+2(n-1)=2n, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-当n=1时,a1=S1=不适合上式, , 可编辑
全国版2017版高考数学一轮复习第五章数列5.2等差数列及其前n项和课时提升作业理
