专题24.4弧长和扇形面积（讲练）
一、 知识点 1.正多边形与圆 2.弧长和扇形面积的计算
n?r2n?r1lr扇形的弧长l＝180；扇形的面积S＝360＝2
3.圆锥与侧面展开图
（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长. （2）计算公式：
圆锥S侧==πrl，S=πr（l+r）
注：易与勾股定理联系，先求母线长，再求面积 二、标准例题：
例1：如图，在矩形ABCD中有对角线AC与BD相等，已知AB=4,BC=3,则有AB2+BC2=AC2,矩形在直线MN上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置……依次类推，则:
(1)AC=__________.
(2)这样连续旋转2019次后，顶点B在整个旋转过程中所经过的路程之和是________.
【答案】5 3028π
【解析】（1）∵AB2+BC2=AC2, AB=4,BC=3, ∴AC= 4+3=25, ∴AC=5；
（2）转动一次B的路线长是：0，转动第二次的路线长是：
2
2
2
90??33?π，转动第三次的路线长是：180290??5590??4?π，转动第四次的路线长是：=2π，以此类推，每四次循环， 18021802019÷4=504余3，
1
35?+?+ 2π=6π,
2235连续旋转2019次经过的路线长为：6π×504+0+?+?=3028π．
22顶点B转动四次经过的路线长为：0+故答案为：（1）5；（2）3028π．
总结：本题考查弧长的计算、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
例2：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )
A．
53?? 42B．
53?? 42C．23??
D．43??2
【答案】A 【解析】
连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H， 则有AD=2AH，∠AHO=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，tan∠A=∴∠A=30°， ∴OH=
BC23， ??AB2331333OA=，AH=AO?cos∠A=3??，∠BOC=2∠A=60°， 2222∴AD=2AH=3，
60??∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=1?23?2?1?3?3?222故选A.
?3?2=36053??， 42 2
总结：本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
例3：如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将?OAC沿AC折叠，点O恰好落在?AB上的点D处，
?的长）??:???表示BD且BD，若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的AD??1:3（BD比为（ ）
A．1:3 【答案】D
B．1:? C．1:4 D．2:9
【解析】解：连接OD交AC于M．
由折叠的知识可得：OM?1OA，?OMA?90?， 2??OAM?30?， ??AOM?60?，
??:?Q且BDAD??1:3，
??AOB?80?
设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
80?l?2?r， 180?r:l?2:9．
3
故选：D．
总结：本题考查的是扇形，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键. 三、练习
1．1．如图，已知在⊙O中，AB=43， AF=6，AC是直径，AC⊥BD于F，图中阴影部分的面积是（ ）
A．83??23 C．83??43 D．163??43 【答案】D
【解析】解：∵AC是直径，AC⊥BD于F，
∴BF=DF，?BC?DC·， ∴∠BAC=∠DAC， 在RT△ABF中， BF?AB2?AF2?23
∴BD=2BF=43， 连接OB、OD、BC，
∵AC是直径， ∴∠ABC=90°，
B．163??23
4
∴BF=AF?FC，即（23）=6FC， ∴FC=2，
∴直径AC=AF+FC=6+2=8， ∴⊙O的半径为4， ∵AB=43，AF=6， ∴cos?BAF?22
AF63， ??AB432∴∠BAF=30°， ∴∠BAD=60°， ∴∠BOD=120°， ∵OC=4，FC=2， ∴OF=2，
∴S阴影=S扇形?S?BOD
120??42116???43?2???43
36023故选择：D.
2．圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（ ） A．53cm 【答案】A
【解析】设圆锥的母线长为R， 根据题意得2π?5?解得R＝10．
即圆锥的母线长为10cm，
∴圆锥的高为：102?52?53cm．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，记三个半圆的弧长分别为m，n，
B．10cm
C．6cm
D．5cm 180?R， 180l，则下列各式成立的是（ ）
5
(讲练测)2019-2020学年九年级数学上册 第二十四章 圆 24.4 弧长和扇形面积(讲练)(含解析)(新版)新
