. . .. . . 年 级：高二 辅导科目： 数学 课时数：3 课 题 1、 理解数列极限的概念； 2、 掌握数列极限的运算法则； 3、 掌握常用的数列极限。 4、掌握公比q<1时，无穷等比数列前n项和的极限公式即无穷等比数列各项和公式，并能用于解决简单问题。 教学容 数列的极限（三） 教学目的 【知识梳理】 1、数列极限的概念： 一般地，在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列?an?中的an无限趋近于一个常数A，那么A叫做数列?an?的极限，或叫做数列?an?收敛于A。 2、对概念的理解： （1） （2） （3） 有穷数列一定不存在极限，无穷数列__不一定_____极限； 数列是否有极限与数列前面的有限项__无关_____； 如果一个数列有极限，那么它的极限是一个_确定_____的常数。 3可以通过几个反面的例子来理解数列极限的概念： ??又如：?(?1)?，当n无限增大时，数列的项始终在1和-1之间摆动，因此也不能与某一个常数无限的接近； 如：n2，当n无限增大时，数列的项也无限增大，显然他们不能与某一个常数无限的接近； n?1再如：??，虽然当n无限增大时，数列的项与-1会逐渐接近，但这种接近不是无限接近，数列的项与-1的距离始终大于1，即??(?1)?不能无限趋近于0。 4、数列极限的运算法则 如果n??an=A，n??bn=B，那么(1)n??(an±bn)=A±B (2)n??(an·bn)=A·B (3)n??limlimlimlimlim?1??n??1?n??anA=(B≠0) bnB极限不存在的情况是（1）liman???；（2）极限值不唯一，跳跃，如1，-1，1，-1…. n??注意：数列极限运算法则运用的前提: (1)参与运算的各个数列均有极限; (2)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能首先套用. .. .专业 . .
. . .. . . 思考：如何正确运用数列极限的运算法则？ 1、lima与limbnnn??n??存在是lim (an±bn)/ n??lim (an·bn)存在的__充分非必要_______条件。 n??3、几个重要极限 ①n??C=C（常数列的极限就是这个常数） ②设a>0，则特别地 limlimlim1?0 n??nnnn??n??③设q∈(-1，1)，则n??qn=0；q?1,limq?1;q??1,或q?1,limq不存在。 若无穷等比数列a1,aq,?,aqn?1?,q?1叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的和）为：s?limsn?n??a1 1?q关于无穷等比数列各项和： 1、 使用条件：若公比为q，则q的围是_____0?q?1; 2、 常见的应用：循环小数化分数；几何应用。 【典型例题讲解】 例1、求下列极限。 lim(1)n??n2n3lim(-) (2)n??[n(n?1-n)] 22n?12n?1lim(3)n??1473n?2an(1?a)?(1?an?1)lim(2+2+2+…+) (4)n??n?1(a≠1) 2nnnnna(1?a)?(1?a)113 (2) (3) 422解： (1) (4)当|a|<1时，原式=1；当|a|>1时，原式=a；当a=-1时极限不存在 变式练习： ?n3?1n2?1?1（1）lim?2??__________; ?n??3n?n3n?4?3?（2）lim??111???n??1?44?77?10???11?__________; ?(3n?2)?(3n?1)?3例lim2、已知n??3n2?cn?1(?4n)=5，求常数a、b、c的值。 an2?bn解：a=0，b=315，c= 44.. .专业 . .
. . .. . . lim变式练习：若n???n3?1?11=5，求常数a、b、的值。 ?an?b?0a?,b???2?39?3n?n?8?a2n?1)?，求首项a1的取值围。 3 例3、设无穷等比数列?an?满足lim(a1?a3?a5?n??解： a18?8?2?,0?q?1,?a?1?0,?。 21?q3?3?变式练习：在等比数列中，a1>1,前项和Sn满足limSn?n??1，那么a1的取值围是……………………（ ） a1 （A）（1，＋∞） （B）（1，4） （C）（1，2） （D）（1，2） 例4、以正方形ABCD的四个顶点为圆心，以正方形的边长a为半径，在正方形画弧，得四个交点A1,B1,C1,D1，再在正方形A1B1C1D1用同样的方法得到又一个正方形A2B2C2D2，这样无限的继续下去，求所有这些正方形的面积之和（包括正方形ABCD）. (3?1)a2解：（提示）a1?a,q?2?3,Sn? 22 变式练习：设T1，T2，T3……为一组多边形，其作法如下： T１是边长为1的三角形以Tn的每一边中间1的线段为一边向外作正三角形，然后将该1/3线段抹3去所得的多边形为Tn+1，如图所示。令an表示Tn的周长，A(Tn)表示Tn的面积。 (Ⅰ)计算T1，T2，T3的面积A(T1)，A(T2)，A(T3) (Ⅱ)求lim(n??111+…+)的值。 a1a2an31·1·1·sin60°= 42解：(Ⅰ)A(T1)=A(T2)=3·43311111110···sin60°++A(T1)== A(T3)=12····sin60°+A(T2)=3 1232332992711444an-1(Tn的边数是Tn-1边数的4倍且每边是原来的1/4)故 an=3·()n-1∵=·()n-1 an3333(Ⅱ)由分析知 an=.. .专业 . .
. . .. . . 11114lim(++∴…+)=3= n??a33a2an11?4注：本题综合考察由图像的变化中抽象出数列知识，由变化情况来分析周长、面积的变化情况，掌握其规律，将规律与数列联系起来。求面积时，要利用面积公式及对称性，然后由数递推数列来求答。 能力点：由图像变化联系数列知识。 2例5、已知公比q(0?q?1)的无穷等比数列an各项的和为9，无穷等比数列an各项的和为????81。 5（1） 求数列an的首项a1和公比q； （2） 对给定的k(k?1,2,（3） 设bi为数列T(i)??,n)，设T(k)是首项为ak，公差为2ak?1的等差数列。求T(2)的前10项之和； ?bn。求Sn，并求正整数m(m?1)，使得lim的第i项，Sn?b1?b2?sn存在且不等x??nm于零。 （注：无穷等比数列各项和即当n??时该无穷等比数列前n项和的极限） ?a1?1?q?9(1)a9?解：（Ⅰ）.依题意得?2，⑴代入⑵得1?1?q5?a1?81(2)2?5?1?q?a1?3?2， ?q??3?(3)，⑴?⑶得1?q2?5，解得q?，代入⑴得a1?3即1?q32（Ⅱ）.由（Ⅰ）知an?a1qn?1?3?()n?1，所以 223?3?()n?1?(m?1)[6?()n?1?1]33T(k)?ak?(m?1)(2ak?1)所以T(2)?2?3(m?1)?3m?1(m?N?)，数列{T(2)}是以2为首项，3为公差的等差数列，记{T(2)}的前m项和为Sm，所以S10?10?2?10(10?1)?3?155， 222（Ⅲ）.由（Ⅱ）知T(i)?ai?(m?1)(2ai?1)?3()i?1?(m?1)[6()i?1?1]，所以 332bi?(6i?3)()i?1?(i?1)，所以 3222Sn?[3()0?9()1?15()2?333202122令S?n?3()?9()?15()?33322122所以S?n?3()?9()?33312122所以S??3?6[()?()?n3332?(6n?3)()n?1]?[(1?1)?(2?1)?3?1)?32?(6n?3)()n?1， 3?(n?1)]， 2?(6n?3)()n?1， 32222?()n?1]?(6n?3)()n?3?18[1?()n?1]?3(6n?3)()n 3333.. .专业 . .
. . .. . . 2n?1222n(n?1)所以S?， ?(18n?9)()n，Sn?63?54()n?1?(18n?9)()n?n?63?54()3333222n(n?1)63?54()n?1?(18n?9)()n?Sn332当limm存在且不为零时，m?2。 ?limmn??nn??n【练习】 一、填空： 1、求极限： （1）lim(?1)nn??3n2?2n?1?___________； （2）lim?___________； 2n??n?1n?n3n2?2n?1?（3）lim2?___________； （4）lim?2?=___________； n??n?1n??n?1n?1??（5）limn??2n?1n2?1??2??3n??__________ =___________；（6）limn?1n?1n??2??2??3n?1?nan2?bn?3??3 ，则a?________,b?________. 2、已知limn??4n?53、lim(n??1232n???????)?___________. n2?1n2?1n2?1n2?11?22?24?????22n?__________. 4、limnn??45、limn??1?2?3?4?????(2n?1)?2n?_________. n?16、lim??n?11??111????????1?=___________. n?n??39273??1?2?4?????2n?17、lim?__________. n??1?3?9?27?????(?3)n?18、lim(n??1111?????)=___________. 1?32?43?5n(n?2)111)(1?)?(1?)=___________. 2232n2 9、lim(1?n??10、一个无穷等比数列的各项和为9，各项平方和为27，则a1?_______. 11、设等比数列{an}（n∈N）的公比q=－18,且lim（a1+a3+a5+…+a2n－1）=,则a1=_________________. n??23.. .专业 . .
数学高二(上)沪教版(数列的极限(三))教师版
