哈师大附中2024-2024学年度高一下学期期末(线上)考试
数学参考答案
（时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a?b，则下列各式正确的是（ C ）
A.ac?bc B. ac2?bc2 C.a?c2?b?c2 D.2．过点(0,1)且与直线2x?y?1?0垂直的直线方程是（ B ）
A. x?2y?1?0 B. x?2y?2?0 C. 2x?y?1?0 D.2x?y?2?0 3．设OM?(3,1),ON?(?5,?1)，则
11? ab1MN?（ D ） 2A. (4,1) B. (4,?1) C. (?4,1) D. (?4,?1) 4．圆锥的底面直径为2，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为（ A ） A.3 B. 2 C. 23 D.4 5．已知向量a,b满足|a|?1,a?b??1，则a?(2a?b)?（ C ）
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 6．已知x,y?0且x?4y?1，则
11
?的最小值为（ B ） xy
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3?9,S9?72，则S6?（ B ） A. 27 B. 33 C.36 D.45 8．矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E, F分别是边AB, CD的中点， 将正方形ADFE沿EF折到A1D1FE位置，使得二面角A1-EF-B 的大小为120°，则异面直线A1F与CE所成角的余弦值为（ D ） A. C.
510 B. 101031 D.
421
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ D ）
A.
25?5 ?2?5 B. 5?225 D.5?2?5 2C. 5?2?
10．在正项等比数列?an?中，a2?a4?900?2a1a5,a6?9a4，则a2024的个位数字是（ B ）
22A．1 B．3 C．7 D．9
11．刘徽注《九章算术·商功》“斜解立方，得两堑堵. 斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑. 阳马居二，鳖臑居一，不易之率也. 合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”下图一解释了由一个长方体得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程. 堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体.
图一
图二
在如图二所示由正方体得到的堑堵ABC-A1B1C1中，当点P在下列三个位置：A1A中点、A1B中点、A1C．．．中点时，分别形成的四面体P-ABC中，鳖臑有（ C ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 12．已知?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且cosA??且aMA?bMB?cMC?0，若AM??AB??AC，则
1．M为?ABC内部的一点， 81的最小值为（ A ） ??? A.
735 B. C. D.1
2442
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13．直线3x?y?a?0的倾斜角为______60°________．
14．已知?an?为等差数列，其公差为 -2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为?an?前n项和，则S10的值为______110________．
15．圆O为?ABC的外接圆，半径为1，若AB?AC?2AO，且AO?AC，则向量BA在向量BC方向上的投影为_______
3_______． 216．已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面边长AB?27，侧棱长AA1?22，它的外接球的球心为O，点M是AB的中点，点P是球O上任意一点，下列四个结论： ① 线段PM的长度最大值是9；
② 存在过点M的平面，截球O的截面面积是7?；
③ 过点M的平面截球O所得截面面积最小时，B1C1平行该截面； ④ 过点M的平面截球O所得截面面积最大时，B1C垂直该截面. 其中正确的结论序号是______②________(写出所有正确的结论序号).
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本题满分10分）
设直线l经过点A(1,0)，且与直线3x?4y?12?0平行． （Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若点B(a,1)到直线l的距离小于，求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）因为直线3x?4y?12?0的斜率k??，又直线l过点A(1,0)，
所以l的方程为y?0??343?x?1?，即3x?4y?3?0． …… 5分 4（Ⅱ）由点到直线距离公式得d?即3a?1?10，解得?3a?4?33?422?2，
11?a?3． 3所以实数a的取值范围是?a???11??a?3?． …… 10分 3?
3
18．（本题满分12分）
已知函数f(x)?|x?1|?|x?2|． （Ⅰ）求关于x的不等式f(x)?4的解集；
（Ⅱ）如果关于x的不等式f(x)?a的解集不是空集，求实数a的取值范围． 解：（Ⅰ）不等式f(x)?4，即|x?1|?|x?2|?4．
当x??1时，?2x?1?4，所以x??当?1?x?2时，3?4，恒成立， 当x?2时，2x?1?4，所以x?综上所述，不等式的解集为?x?33，所以??x??1 ， 2255，所以2?x?， 22??35??x??． …… 6分 22?（Ⅱ）f(x)?|x?1|?|x?2|??x?1???x?2??3，
当且仅当?x?1??x?2??0即-1?x?2时取等号.
因为关于x的不等式f(x)?a的解集不是空集，所以a?3． …… 12分
19．（本题满分12分）
正三棱柱ABC -A1B1C1中，M是棱AC的中点. （Ⅰ）求证：AB1∥平面BC1M；
（Ⅱ）设AB=2，AA1=3，求点A1到平面BC1M的距离.
证明：（Ⅰ）连B1C，交BC1于点O，则O是B1C的中点，
∵M是AC中点， ∴MO∥AB1
又AB1?平面BC1M，MO?平面BC1M， ∴AB1∥平面BC1M …… 4分
解：（Ⅱ）（方法一）直接法
∵AA1⊥平面ABC，BM?平面ABC， ∴AA1⊥BM
正三角形ABC中，M是AC中点，则AC⊥BM
又AA1∩AC=A，AA1?平面ACC1A1，AC?平面ACC1A1 ∴BM⊥平面ACC1A1
作A1H⊥C1M于H，则A1H?平面ACC1A1
4
∴BM⊥A1H
又C1M∩BM=M，C1M?平面BC1M，BM?平面BC1M， ∴A1H⊥平面BC1M
故，A1H是点A1的到平面BC1M的距离. ∵A1C1=2，C1M=2，∠A1C1H+∠MC1C=90°
∴A1C1=C1M，∠A1C1H=∠C1MC，∴Rt△A1HC1≌Rt△C1CM（AAS） ∴A1H=C1C=3
∴点A1的到平面BC1M的距离为3. …… 12分
解：（Ⅱ）（方法二）间接法
设点A1到平面BC1M的距离为h，因BM⊥平面ACC1A1（见方法一）
由VA1?BC1M?VB?A1C1M，得
11SBC1M?h?SA1C1M?BM 331SA1C1M?BM2?2?3?3??3 ∴h?1SBC1M?2?32∴点A1的到平面BC1M的距离为3. …… 12分
20．（本题满分12分）
已知数列?an?的前n项和为Sn，且满足Sn??an?（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）令bn?log1an，记数列?4134，n?N*． 3??13?的前n项和为Tn，求证：Tn?．
4?(bn?1)(bn?3)?1411解：（Ⅰ）当n=1时S1=-a1+∴a=1，当n≥2时an=Sn-Sn-1=-an+an-1
33133an110，∴=(n≥2) ∴an=an-1，且a1=1≠an-144{an}是以1为首项，∴1为公比的等比数列. 41 …… 6分 ∴an=n-14
1（Ⅱ）?bn?log1an?log1n-1?n?1
444 5
2024-2024学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一下学期期末考试 数学
