初中数学学科网（www.223t.com）
第十一讲 勾股定理与应用
在课内我们学过了勾股定理及它的逆定理．
勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
a2+b2=c2．
勾股定理逆定理 如果三角形三边长a，b，c有下面关系：
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形．
早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法． 关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法．
证法1 如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和． 过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为
AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，
所以△ACE≌△AGB(SAS)．而
所以 SAEML=b2． ①
初中数学学科网（www.223t.com）
初中数学学科网（www.223t.com）
同理可证 SBLMD=a2． ② ①+②得
SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，
即 c2=a2+b2．
证法2 如图2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知
△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，
所以
AG=GH=HB=AB=c，
∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，
因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即
化简得 a2+b2=c2．
初中数学学科网（www.223t.com）
初中数学学科网（www.223t.com）
证法3 如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：
△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．
设五边形ACKDE的面积为S，一方面 S=SABDE+2S△ABC， ① 另一方面
S=SACGF+SHGKD+2S△ABC． ② 由①，②
所以 c2=a2+b2．
关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名．
利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论． 定理 在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍．
证 (1)设角C为锐角，如图2-19所示．作AD⊥BC于D， 则CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中， AB2=AD2+BD2， ① 在直角三角形ACD中， AD2=AC2-CD2， ② 又
初中数学学科网（www.223t.com）
初中数学学科网（www.223t.com）
BD2=(BC-CD)2， ③ ②，③代入①得 AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2 =AC2-CD2+BC2+CD2-2BC·CD =AC2+BC2-2BC·CD， 即
c2=a2+b2-2a·CD． ④
(2)设角C为钝角，如图2-20所示．过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上的射影．在直角三角形ABD中， AB2=AD2+BD2， ⑤ 在直角三角形ACD中，
AD2=AC2-CD2， ⑥ 又
BD2=(BC+CD)2， ⑦ 将⑥，⑦代入⑤得 AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2 =AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD =AC2+BC2+2BC·CD， 即
c2=a2+b2+2a·cd． ⑧
综合④，⑧就是我们所需要的结论
特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：
初中数学学科网（www.223t.com）
初中数学学科网（www.223t.com）
c2=a2+b2．
因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广)．
由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，
(1)若c2=a2+b2，则∠C=90°； (2)若c2＜a2+b2，则∠C＜90°； (3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°．
勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．
例1 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．
分析 注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE． 证 因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE的公共边，所以
Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，
所以 AF=AB． ①
在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所以
AG=FG，
AF2=AG2+FG2=2FG2． ② 由①，②得
AB2=2FG2．
说明 事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡”
初中数学学科网（www.223t.com）
全国初中数学竞赛辅导(初2)第11讲 勾股定理与应用
