21an?24an?1?2an?1?3?4an?121an?244an?1?2??321an?24?2(4an?1)21an?24?3(4an?1)?13an?269an?27?13an?29an?3。所以数列
?an?2?an?2a1?24?213n?113是以为首项，以为公比的等比数列，故??2?2()，??9a1?34?3an?39?an?3?则an?2(1139)n?1?3。 ?121x?244x?121x?244x?1评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)?an?1?2an?1?3的不动点，即方程x?的两
个根x1?2，x2?3，进而可推出
??a?2?13an?2，从而可知数列?n??为等比数
a?39an?3?n??a?2?列，再求出数列?n?的通项公式，最后求出数列{an}的通项公式。
?an?3?7an?22an?3例15 已知数列{an}满足an?1?，a1?2，求数列{an}的通项公式。
解：令x?7x?22x?3，得2x2?4x?2?0，则x?1是函数f(x)?3x?14x?7的不动点。
因为an?1?1?7an?22an?3?1?5an?52an?3，所以
an?21n1n1()?()?。 3423评注：本题解题的关键是通过将1?24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化
bn?1?12bn?32形式，从而可知数列{bn?3}为等比数列，进而求出数列{bn?3}的通项公式，
最后再求出数列{an}的通项公式。 九、不动点法
21an?244an?1例14 已知数列{an}满足an?1?，a1?4，求数列{an}的通项公式。
解：令x?21x?244x?1，得4x2?20x?24?0，则x1?2，x2?3是函数f(x)?21x?244x?1的
两个不动点。因为
21an?24an?1?2an?1?3?4an?121an?244an?1?2??321an?24?2(4an?1)21an?24?3(4an?1)?13an?269an?27?13an?29an?3。所以数列
?an?2?a?2a1?24?213n?113为公比的等比数列，故n??2为首项，以?2()，??是以
9a1?34?3an?39?an?3?则an?2(1139)n?1?3。 ?121x?244x?121x?244x?1评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)?an?1?2an?1?3的不动点，即方程x?的两
个根x1?2，x2?3，进而可推出
??a?2?13an?2，从而可知数列?n??为等比数
9an?3?an?3??an?2?列，再求出数列??的通项公式，最后求出数列{an}的通项公式。
a?3?n?7an?22an?3例15 已知数列{an}满足an?1?，a1?2，求数列{an}的通项公式。
解：令x?7x?22x?32，得2x?4x?2?0，则x?1是函数f(x)?3x?14x?7的不动点。
因为an?1?1?7an?22an?3?1?5an?52an?3，所以
数列通项公式的十种求法
