数列通项公式的十种求法

由天下分享时间：2024/12/5 9:30:01 加入收藏我要投稿点赞

2an?3n?4n?5?x(n?1)?y(n?1)?z?2(an?xn?yn?z)，则

2222an?(3?x)n?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2an?2xn?2yn?2z

22等式两边消去2an，得(3?x)n2?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2xn2?2yn?2z， ?3?x?2x?x?3??解方程组?2x?y?4?2y，则?y?10，代入⑧式，得

?x?y?z?5?2z?z?18??an?1?3(n?1)?10(n?1)?18?2(an?3n?10n?18) ⑨

22由a1?3?12?10?1?18?1?31?32?0及⑨式，得an?3n2?10n?18?0

an?1?3(n?1)?10(n?1)?18an?3n?10n?1822则

2?2，故数列{an?3n?10n?18}为以

2a1?3?1?10?1?18?1?31?32为首项，以2为公比的等比数列，因此an?3n?10n?18?32?22n?1n?42?3n?10n?18。，则an?22评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3n?4n?5转化为

an?1?3(n?1)?10(n?1)?18?2(an?3n?10n?18)，从而可知数列

22{an?3n?10n?18}是等比数列，进而求出数列{an?3n?10n?18}的通项公式，最后再

22求出数列{an}的通项公式。五、对数变换法

n5例10 已知数列{an}满足an?1?2?3?an，a1?7，求数列{an}的通项公式。

n5n5解：因为an?1?2?3?an，a1?7，所以an?0，an?1?0。在an?1?2?3?an式两边取

常用对数得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2 设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y)

⑩ 11 ○

将⑩式代入○11式，得5lgan?nlg?3lg?2xn?(?1y)?5a(l?gxn?y，两边消去n5lgan并整理，得(lg3?x)n?x?y?lg2?5xn?5y，则

lg3?x???lg3?x?5x?4，故 ??x?y?lg2?5ylg3lg2??y???164?代入○11式，得lgan?1?由lga1?得lgan?lg34lg34?1?lg316lg316lg34(n?1)?lg316lg34?lg24?5(lgan?lg316lg24lg34n?lg316?lg24) 12

○

?lg24lg24?lg7??1???0及12式，

○

n???0，

lgan?1?lg3则

lgan?4lg34(n?1)?n?lg316??lg24?5，

lg316n?lg24?所以数列{lgan?lg344lg31616lg24?4n?1}是以lg7??(lg7?lg344??lg316??lg244为首项，以5为公比的等

n?1比数列，则lgan?lg3414lg3n?lg3lg2lg3lg316lg2)5，因此

lgan?(lg7??lg316?16lg24)5?lg34n?n4lg36?lg24116114n?1nn?1?(lg7?lg3?lg3?lg2)5111?lg3?lg311?lg24?[lg(7?34?316?24)]5111?lg(34?316?24)n11

?lg(7?34?316?24)55n?1n?1?lg(34?316?24)5n?1?n5n?1?1?1?lg(7?lg(75n?1?3?34?3165n?1?2?144)5n?4n?15n?116?25n?1)5n?4n?1?1则an?75n?1?316?24。

n5评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an?1?2?3?an转化为

lgan?1?{lgan?lg34lg34(n?1)?n?lg316?lg3164?lg24?5(lgan?lg34n?lg316?lg24)，从而可知数列lg34n?lg316?lg24}的通项

lg2}是等比数列，进而求出数列{lgan?公式，最后再求出数列{an}的通项公式。六、迭代法

3(n?1)2例11 已知数列{an}满足an?1?an，a1?5，求数列{an}的通项公式。

n3(n?1)23n?2解：因为an?1?an，所以an?an?1nn?1?[a3(n?1)?2n?2n?2]3n?2n?1

?an?23(n?1)?n?22(n?2)?(n?1)?[an?3?an?3???a1?a3n?133(n?2)?2n?3]3(n?1)?n?22(n?2)?(n?1)3(n?2)(n?1)n?2(n?3)?(n?2)?(n?1)

?2?3??(n?2)?(n?1)?n?2n(n?1)1?2????(n?3)?(n?2)?(n?1)31n?1?n!?22n(n?1)又a1?5，所以数列{an}的通项公式为an?53n?1?n!?22。

3(n?1)2nn评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an?1?an两边取常用对数得lgan?1?3(n?1)?2?lgan，即

lgan?1lgan2再由累乘法可推知?3(n?1)2，

nlgan?lganlgan?1lgan?2?lgan?1n?1lga3lga23?n!?2?????lga1?lg5lga2lga1n(n?1)，从而an?53n?1?n!?2n(n?1)2。

七、数学归纳法

8(n?1)(2n?1)(2n?3)2例12 已知数列{an}满足an?1?an?，a1?289，求数列{an}的通项公式。

解：由an?1?an?8(n?1)(2n?1)(2n?3)22及a1?89，得

a2?a1?a3?a2?a4?a3?8(1?1)(2?1?1)(2?1?3)8(2?1)(2?2?1)(2?2?3)8(3?1)(2?3?1)(2?3?3)222222?89?24258?29?25???2425??48498081??8?325?498?449?81

4849由此可猜测an?(2n?1)?1(2n?1)22，往下用数学归纳法证明这个结论。

（1）当n?1时，a1?(2?1?1)?1(2?1?1)22?89，所以等式成立。

（2）假设当n?k时等式成立，即ak?(2k?1)?1(2k?1)22，则当n?k?1时，

ak?1?ak?8(k?1)(2k?1)(2k?3)8(k?1)22

?(2k?1)?1(2k?1)222?(2k?1)(2k?3)222222?[(2k?1)?1](2k?3)?8(k?1)(2k?1)(2k?3)222?(2k?1)(2k?3)?(2k?3)?8(k?1)(2k?1)(2k?3)222222?(2k?1)(2k?3)?(2k?1)(2k?1)(2k?3)(2k?3)?1(2k?3)222

??[2(k?1)?1]?1[2(k?1)?1]2由此可知，当n?k?1时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何n?N都成立。

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法

*例13 已知数列{an}满足an?1?解：令bn?1?24an，则an?故an?1?12421161(1?4an?求数列{an}的通项公式。 1?24an)，a1?1，

24(bn?1) 12124(bn?1?1)，代入an?1?116124216(1?4an?1?24an)得

(bn?1?1)?[1?4(bn?1)?bn]

2即4bn2?1?(bn?3)2

因为bn?1?24an?0，故bn?1?1?24an?1?0 则2bn?1?bn?3，即bn?1?可化为bn?1?3?1212bn?32，

(bn?3)，

12所以{bn?3}是以b1?3?1?24a1?3?1?24?1?3?2为首项，以列，因此bn?3?2()2an?1n?1为公比的等比数

1n?21n?21n?2?()?3，即1?24an?()?3，得，则bn?()22221n1n1()?()?。 3423评注：本题解题的关键是通过将1?24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化

bn?1?12bn?32形式，从而可知数列{bn?3}为等比数列，进而求出数列{bn?3}的通项公式，