数列通项公式的十种求法
一、公式法
例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列{an}的通项公式。 解：an?1?2an?3?2n两边除以2n?1，得以
a121an?12n?1?an2na?1anan33则n，故数列?，??{}是n?1nn22222an2n?22以?1为首项，
32为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得
3212)2。
an?12n?1n?1?(n?1)32，
所以数列{an}的通项公式为an?(n?n评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?2转化为
?an2n?32，说明数列
{an2}是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出nan2n?1?(n?1)32，进而求出数列
{an}的通项公式。
二、累加法
例2 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?1?2(n?1)n22?(n?1)?1
?(n?1)(n?1)?1?n2所以数列{an}的通项公式为an?n。
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2n?1转化为an?1?an?2n?1，进而求出(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。
例3 已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解
：
由
nan?1?an?2??3得1an?1?an?2?3?1n则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?3?2(3?2n?1?1)?(2?3n?2n?22?1)???(2?3?1)?(2?3?1)?3121n?1?3???3?3)?(n?1)?33(1?3nnn?1)
?(n?1)?31?3?3?3?n?1?3?3?n?1所以an?3n?n?1.
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2?3n?1转化为an?1?an?2?3n?1，进而求出an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。
n例4 已知数列{an}满足an?1?3an?2?3?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。
n解：an?1?3an?2?3?1两边除以3n?1，得
an?13n?1?an3n?23?13n?1，
则
an?13n?1?an3n?23?13n?1，故
an3n?(?(?an323n?an?1an?11)?(2313nan?1an?11313n?an?23n?2)?(??an?231n?2?an?33)???(n?323?13a232?a13)?1a13?3)?(n?(??)?(n?1?132333)???(n?2???132)?233
2(n?1)31n?2n?1)?11因此
an3n?232(n?1)3?n?3?n?312n(1?31?3nn?1)?1?2n3?12?12?3n，
则an??3?12.
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?2?3n?1转化为进而求出(an3nan?13n?1?an3n?23?13n?1，
?an?13)?(n?1an?13n?1?an?23n?2)?(an?23n?2?an?33)???(n?3a232?a13)?1a13，即得数列??an?n?3??的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。 三、累乘法
例5 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。
an?1an解：因为an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，所以an?0，则
anan?1a3a2??a1a2a1][2(n?2?1)5n?2?2(n?1)5，故
nan?an?1an?2n?1?????[2(n?1?1)5?2n?1]???[2(2?1)?5][2(1?1)?5]?3
?321[n(n?1)???3?2]?5n(n?1)n?1(n?1)?(n?2)???2?1?3?2?52?n!n(n?1)所以数列{an}的通项公式为an?3?2n?1?52?n!.
an?1ann评注：本题解题的关键是把递推关系an?1?2(n?1)5?an转化为
进而求?2(n?1)5，
n出
anan?1an?2?an?1???a3a2??a1，即得数列{an}的通项公式。 a2a1例6 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列{an}满足
a1?1，an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，求{an}的通项公式。
解：因为an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2) 所以an?1?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1?nan 用②式－①式得an?1?an?nan. 则an?1?(n?1)an(n?2)
②
①
故
an?1an?n?1(n?2)
所以an?anan?1an?2?an?1???a3a2?a2?[n(n?1)???4?3]a2?n!2a2. ③
由an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，取n?2得a2?a1?2a2，则a2?a1，又知
a1?1，则a2?1，代入③得an?1?3?4?5???n?n!2n!2。
所以，{an}的通项公式为an?.
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?(n?1)an(n?2)转化为
an?1an?n?1(n?2)，
进而求出
anan?1an?2?an?1???a3a2从而可得当n?2时，an的表达式，最后再求出数列{an}的?a2，
通项公式。 四、待定系数法
n例7 已知数列{an}满足an?1?2an?3?5，a1?6，求数列?an?的通项公式。
n?1n解：设an?1?x?5?2(an?x?5)
④
nnn?1n将an?1?2an?3?5代入④式，得2an?3?5?x?5?2an?2x?5，等式两边消去
2an，得3?5?x?5an?1?5n?1nnn?1代入④式得?2x?5，两边除以5，得3?5x?2x则,x??1,
⑤
n?1nnn?2(an?5)
由a1?5?6?5?1?0及⑤式得an?5?0，则
11nan?1?5an?5n?2，则数列{an?5}是以
na1?5?1为首项，以2为公比的等比数列，则an?5?2n?1n?1n，故an?2?5。
nn?1n评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?5转化为an?1?5?2(an?5)，
nn从而可知数列{an?5}是等比数列，进而求出数列{an?5}的通项公式，最后再求出数列
{an}的通项公式。
例8 已知数列{an}满足an?1?3an?5?2n?4，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：设an?1?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y) 将an?1?3an?5?2n?4代入⑥式，得
nn?1⑥
3an?5?2?4?x?2?y?3(an?x?2?y)
n整理得(5?2x)?2n?4?y?3x?2n?3y。
?5?2x?3x?4?y?3yn?1令?，则??x?5?y?2，代入⑥式得
an?1?5?2?2?3(an?5?2?2)
n ⑦
1由a1?5?2?2?1?12?13?0及⑦式，
得an?5?2?2?0，则
nan?1?5?2n?1n?2an?5?2?2?3，
n1故数列{an?5?2?2}是以a1?5?2?2?1?12?13为首项，以3为公比的等比数列，
nn?1n?1n因此an?5?2?2?13?3，则an?13?3?5?2?2。
n评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?5?2?4转化为
an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2?2)，从而可知数列{an?5?2?2}是等比数列，进而求
nnn出数列{an?5?2?2}的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。
2例9 已知数列{an}满足an?1?2an?3n?4n?5，a1?1，求数列{an}的通项公式。
22解：设an?1?x(n?1)?y(n?1)?z?2(an?xn?yn?z) ⑧
2将an?1?2an?3n?4n?5代入⑧式，得
数列通项公式的十种求法
