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,故此时的情形不确定,我们可由方法一来判定; <0,故此点为极大值点;
>0,故此点为极小值点。
函数的最大值、最小值及其应用
在工农业生产、工程技术及科学实验中,常会遇到这样一类问题:在一定条件下,怎样使\产品最多\、\用料最省\、\成本最低\等。
这类问题在数学上可归结为求某一函数的最大值、最小值的问题。
怎样求函数的最大值、最小值呢?前面我们已经知道了,函数的极值是局部的。要求上的最大值、最小值时,可求出开区间(a,b)内全部的极值点,加上端点大值、最小值即为所求。
在[a,b]
的值,从中取得最
例题:求函数 解答:
在此区间处处可导,
,在区间[-3,3/2]的最大值、最小值。
先来求函数的极值,故x=±1,
再来比较端点与极值点的函数值,取出最大值与最小值即为所求。
因为,,,
故函数的最大值为,函数的最小值为。
例题:圆柱形罐头,高度H与半径R应怎样配,使同样容积下材料最省?
解答:由题意可知:为一常数,
数学其实很简单,只要你理清思路,记熟应用方法就OK了。别告诉我你数学很差,我鄙视你。
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面积
故在V不变的条件下,改变R使S取最小值。
故:时,用料最省。
曲线的凹向与拐点
通过前面的学习,我们知道由一阶导数的正负,可以判定出函数的单调区间与极值,但是还不能进一步研究曲线的性态,为此我们还要了解曲线的凹性。 定义:
对区间I的曲线作切线,如果曲线弧在所有切线的下面,则称曲线在区间I下凹,如果曲
线在切线的上面,称曲线在区间I上凹。
曲线凹向的判定定理
定理一:设函数
导数 定理二:设函数
在区间(a,b)上可导,它对应曲线是向上凹(或向下凹)的充分必要条件是:
在区间(a,b)上是单调增(或单调减)。
在区间(a,b)上可导,并且具有一阶导数和二阶导数;那末:
>0,则
在[a,b]对应的曲线是下凹的;
若在(a,b)内,
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若在(a,b)内,<0,则在[a,b]对应的曲线是上凹的;
例题:判断函数的凹向
解答:我们根据定理二来判定。
因为,所以在函数的定义域(0,+∞)内,<0,
故函数所对应的曲线时下凹的。
拐点的定义
连续函数上,上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点。
拐定的判定方法
如果在区间(a,b)内具有二阶导数,我们可按下列步骤来判定
;
=0,解出此方程在区间(a,b)内实根;
的拐点。
(1):求 (2):令
(3):对于(2)中解出的每一个实根x0,检查反,则此点是拐点,若相同,则不是拐点。
在x0左、右两侧邻近的符号,若符号相
例题:求曲线的拐点。
解答:由,
令 判断
四、不定积分
=0,得x=0,2/3
在0,2/3左、右两侧邻近的符号,可知此两点皆是曲线的拐点。
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不定积分的概念
原函数的概念
已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数,如果存在函数F(x),使得在该区间内的任一点都有 dF'(x)=f(x)dx, 则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。 例:sinx是cosx的原函数。 关于原函数的问题
函数f(x)满足什么条件是,才保证其原函数一定存在呢?这个问题我们以后来解决。若其存在原函数,那末原函数一共有多少个呢?
我们可以明显的看出来:若函数F(x)为函数f(x)的原函数,
即:F\, 则函数族F(x)+C(C为任一个常数)中的任一个函数一定是f(x)的原函数, 故:若函数f(x)有原函数,那末其原函数为无穷多个. 不定积分的概念
函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分,
记作
。
由上面的定义我们可以知道:如果函数F(x)为函数f(x)的一个原函数,那末f(x)的不定积分就是函数族
F(x)+C. 即: 例题:求:
.
=F(x)+C
解答:由于,故=
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不定积分的性质
1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和; 即:
2、求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来, 即:
求不定积分的方法
换元法
换元法(一):设f(u)具有原函数F(u),u=g(x)可导,那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函数. 即有换元公式: 例题:求
解答:这个积分在基本积分表中是查不到的,故我们要利用换元法。 设u=2x,那末cos2x=cosu,du=2dx,因此:
换元法(二):设x=g(t)是单调的,可导的函数,并且g'(t)≠0,又设f[g(t)]g'(t)具有原函数φ(t), 则φ[g(x)]是f(x)的原函数.(其中g(x)是x=g(t)的反函数) 即有换元公式:
例题:求
解答:这个积分的困难在于有根式,但是我们可以利用三角公式来换元. 设x=asint(-π/2 ,dx=acostdt, 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法则的基础上得来的,我们应根据具体实例来选择所用的方法,求不定积分不象求导那样有规则可依,因此要想熟练的求出某函数的不定积分,只有作大量的练习。 数学其实很简单,只要你理清思路,记熟应用方法就OK了。别告诉我你数学很差,我鄙视你。
高等数学教材1
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