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，故此时的情形不确定，我们可由方法一来判定； ＜0，故此点为极大值点；
＞0，故此点为极小值点。
函数的最大值、最小值及其应用
在工农业生产、工程技术及科学实验中，常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使\产品最多\、\用料最省\、\成本最低\等。
这类问题在数学上可归结为求某一函数的最大值、最小值的问题。
怎样求函数的最大值、最小值呢？前面我们已经知道了，函数的极值是局部的。要求上的最大值、最小值时，可求出开区间(a,b)内全部的极值点，加上端点大值、最小值即为所求。
在[a,b]
的值，从中取得最
例题：求函数 解答：
在此区间处处可导，
，在区间[-3，3/2]的最大值、最小值。
先来求函数的极值，故x=±1，
再来比较端点与极值点的函数值，取出最大值与最小值即为所求。
因为，，，
故函数的最大值为，函数的最小值为。
例题：圆柱形罐头，高度H与半径R应怎样配，使同样容积下材料最省？
解答：由题意可知：为一常数，
数学其实很简单，只要你理清思路，记熟应用方法就OK了。别告诉我你数学很差，我鄙视你。
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面积
故在V不变的条件下，改变R使S取最小值。
故：时，用料最省。
曲线的凹向与拐点
通过前面的学习，我们知道由一阶导数的正负，可以判定出函数的单调区间与极值，但是还不能进一步研究曲线的性态，为此我们还要了解曲线的凹性。 定义：
对区间I的曲线作切线，如果曲线弧在所有切线的下面，则称曲线在区间I下凹，如果曲
线在切线的上面，称曲线在区间I上凹。
曲线凹向的判定定理
定理一：设函数
导数 定理二：设函数
在区间(a,b)上可导，它对应曲线是向上凹(或向下凹)的充分必要条件是：
在区间(a,b)上是单调增(或单调减)。
在区间(a,b)上可导，并且具有一阶导数和二阶导数；那末：
＞0，则
在[a,b]对应的曲线是下凹的；
若在(a,b)内，
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若在(a,b)内，＜0，则在[a,b]对应的曲线是上凹的；
例题：判断函数的凹向
解答：我们根据定理二来判定。
因为，所以在函数的定义域(0,+∞)内，＜0，
故函数所对应的曲线时下凹的。
拐点的定义
连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点。
拐定的判定方法
如果在区间(a,b)内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定
；
=0，解出此方程在区间(a,b)内实根；
的拐点。
(1)：求 (2)：令
(3)：对于(2)中解出的每一个实根x0，检查反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点。
在x0左、右两侧邻近的符号，若符号相
例题：求曲线的拐点。
解答：由，
令 判断
四、不定积分
=0，得x=0，2/3
在0，2/3左、右两侧邻近的符号，可知此两点皆是曲线的拐点。
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不定积分的概念
原函数的概念
已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有 dF'(x)=f(x)dx， 则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。 例：sinx是cosx的原函数。 关于原函数的问题
函数f(x)满足什么条件是，才保证其原函数一定存在呢？这个问题我们以后来解决。若其存在原函数，那末原函数一共有多少个呢？
我们可以明显的看出来：若函数F(x)为函数f(x)的原函数，
即：F\， 则函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数， 故：若函数f(x)有原函数，那末其原函数为无穷多个. 不定积分的概念
函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分，
记作
。
由上面的定义我们可以知道：如果函数F(x)为函数f(x)的一个原函数，那末f(x)的不定积分就是函数族
F(x)+C. 即: 例题：求：
.
=F(x)+C
解答：由于，故=
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不定积分的性质
1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和； 即：
2、求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来， 即：
求不定积分的方法
换元法
换元法（一）：设f(u)具有原函数F(u)，u=g(x)可导，那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函数. 即有换元公式: 例题：求
解答：这个积分在基本积分表中是查不到的，故我们要利用换元法。 设u=2x，那末cos2x=cosu，du=2dx，因此：
换元法（二）：设x=g(t)是单调的，可导的函数，并且g'(t)≠0，又设f[g(t)]g'(t)具有原函数φ(t)， 则φ[g(x)]是f(x)的原函数.(其中g(x)是x=g(t)的反函数） 即有换元公式:
例题：求
解答：这个积分的困难在于有根式，但是我们可以利用三角公式来换元. 设x=asint(-π/2 ，dx=acostdt, 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法则的基础上得来的，我们应根据具体实例来选择所用的方法，求不定积分不象求导那样有规则可依，因此要想熟练的求出某函数的不定积分，只有作大量的练习。 数学其实很简单，只要你理清思路，记熟应用方法就OK了。别告诉我你数学很差，我鄙视你。
高等数学教材1
