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例题：已知，求
此题可用复合函数求导法则进行求导，但是比较麻烦，下面我们利用对数求导法进行求导
解答：先两边取对数再两边求导
因为，所以
函数的微分
学习函数的微分之前，我们先来分析一个具体问题：一块正方形金属薄片受温度变化的影响时，其边长由x0变到了x0+△x，则此薄片的面积改变了多少？
解答：设此薄片的边长为x，面积为A，则A是x的函数：
薄片受温度变化的影响面积的改
变量，可以看成是当自变量x从x0取的增量△x时，函数A相应的增量△A，即：
。从上式我们可以看出，△A分成两部分，第一部分
是△x的线性函数，即下图中红色部分；第二部分即图中的黑色部分，
当△x→0时，它是△x的高阶无穷小，表示为：
由此我们可以发现，如果边长变化的很小时，面积的改变量可以近似的用地一部分来代替。下面我们给出微分的数学定义：
函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量可表示为
，其中A是不依赖于△x的常数，
在点x0可微的。
叫做函数
是△x的高阶无穷小，则称函数
=
。
在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：
数学其实很简单，只要你理清思路，记熟应用方法就OK了。别告诉我你数学很差，我鄙视你。
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通过上面的学习我们知道：微分是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x
的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。于是我们又得出：当△x→0时，△y≈dy.导数的记号为：
，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成
dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：
由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。
微分形式不变性
什么是微分形式不边形呢？ 设
，则复合函数
的微分为：
由于
，故我们可以把复合函数的微分写成
的微分dy总可以用
，
由此可见，不论u是自变量还是中间变量， 我们把这一性质称为微分形式不变性。 例题：已知
，求dy
与du的乘积来表示，
解答：把2x+1看成中间变量u，根据微分形式不变性，则
通过上面的学习，我们知道微分与导数有着不可分割的联系，前面我们知道基本初等函数的导数公式和导数
的运算法则，那么基本初等函数的微分公式和微分运算法则是怎样的呢？ 下面我们来学习———基本初等函数的微分公式与微分的运算法则
基本初等函数的微分公式与微分的运算法则
基本初等函数的微分公式 由于函数微分的表达式为：
，于是我们通过基本初等函数导数的公式可得出基本初等函数微分的公式，
下面我们用表格来把基本初等函数的导数公式与微分公式对比一下：(部分公式)
导数公式 微分公式 数学其实很简单，只要你理清思路，记熟应用方法就OK了。别告诉我你数学很差，我鄙视你。
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微分运算法则
由函数和、差、积、商的求导法则，可推出相应的微分法则.为了便于理解，下面我们用表格来把微分的运算法则与导数的运算法则对照一下：
函数和、差、积、商的求导法则 函数和、差、积、商的微分法则 复合函数的微分法则就是前面我们学到的微分形式不变性，在此不再详述。
例题：设，求对x的导数
3
解答：根据微分形式的不变性
微分的应用
微分是表示函数增量的线性主部.计算函数的增量，有时比较困难，但计算微分则比较简单，为此我们用函数的微分
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来近似的代替函数的增量，这就是微分在近似计算中的应用. 例题：求
的近似值。
解答：我们发现用计算的方法特别麻烦，为此把转化为求微分的问题
故其近似值为1.025(精确值为1.024695)
三、导数的应用
微分学中值定理
在给出微分学中值定理的数学定义之前，我们先从几何的角度看一个问题，如下：
设有连续函数，a与b是它定义区间内的两点(a＜b)，假定此函数在(a,b)处处可导，也
就是在(a,b)内的函数图形上处处都由切线，那末我们从图形上容易直到，
差商就是割线AB的斜率，若我们把割线AB作平行于自身的移动，那么至少
有一次机会达到离割线最远的一点P(x=c)处成为曲线的切线，而曲线的斜率为是平行的，因此
，由于切线与割线
注：这个结果就称为微分学中值定理，也称为拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理
成立。
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如果函数使
在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，
成立。
这个定理的特殊情形，即： 若一点c，使
的情形，称为罗尔定理。描述如下：
，那末在(a,b)内至少有
在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且
成立。
注：这个定理是罗尔在17世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提出来的。 注：在此我们对这两个定理不加以证明，若有什么疑问，请参考相关书籍
下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理 柯西中值定理
如果函数，在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且≠0，那末在(a，
b)内至少有一点c，使成立。
例题：证明方程在0与1之间至少有一个实根
证明：不难发现方程左端是函数的导数：
函数
，由罗尔定理
可知，在0与1之间至少有一点c，使
，即
在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且
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高等数学教材1
