第三节 函数奇偶性（高一秋季班组第五次课10.05） 一．教学目标
1.了解奇偶函数的概念，会判断函数奇偶性； 2.奇偶性的应用 3.奇偶性与单调性综合
二．教学内容
1.偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(?x)?f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(?x)??f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
奇偶性：如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说明函数f(x)具有奇偶性。
正确理解函数奇偶性的定义：定义是判断或讨论函数奇偶性的依据，由定义知，若x是定义域中的一个数值，那么-x也必然在定义域中，因此，函数y?f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性。
无奇偶性函数是非奇非偶函数；若一个函数同时满足奇函数与偶函数的性质，则既是奇函数，又是偶函数。 两个奇偶函数四则运算的性质：
①两个奇函数的和仍为奇函数；②两个偶函数的和仍为偶函数；③两个奇函数的积是偶函数； ④两个偶函数的积是偶函数； ⑤一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。 例1.判别下列函数的奇偶性： f(x)＝|x＋1|+|x－1| ; f(x)＝思考：f(x)=0的奇偶性？ 练习1.判断下列函数的奇偶性．
3x2 ; f(x)＝x＋
1x ; f(x)＝ ; f(x)＝x2,x∈[-2,3] 2x1?x
(1)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]；(2)f(x)＝； |x＋2|－21－x2(3)f(x)＝(x－1)1＋x
??－x2＋x ?x>0?，
； (4)f(x)＝?
21－x??x＋x ?x<0?.
2．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图像必过点( C )
1
A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a)) C．(－a，－f(a)) D．(a，f()) a解析 ∵f(－a)＝－f(a)，即当x＝－a时，函数值y＝－f(a)，∴必过点(－a，－f(a))． 3．已知f(x)为奇函数，则f(x)－x为( A )
A．奇函数 B．偶函数 C．既不是奇函数又不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 解析 令g(x)＝f(x)－x，g(－x)＝f(－x)＋x＝－f(x)＋x＝－g(x)．
4．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( A )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数 C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
解析 由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)．由g(x)是奇函数，可得g(－x)＝－g(x)． 由|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
5.设f(x)＝ax＋bx＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值。
6.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝
1，求f(x)、g(x)。 x?177．设f(x)是偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)＋g(x)＝，则f(x)＝________，g(x)＝________.
x－1
答案
， x2－1x2－1
1
1
1
x
1
解析 ∵f(x)＋g(x)＝， ①∴f(－x)＋g(－x)＝.又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(x)－
x－1－x－1
g(x)＝. ②①＋②，得f(x)＝2，①－②，得g(x)＝2
－x－1x－1x－1.
8.已知函数f(x)，对任意实数x、y，都有f(x+y)＝f(x)＋f(y)，试判别f(x)的奇偶性。
9.已知f(x)是奇函数，且在[3，7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7，-3]上是 函数，且最 值是 。
10.已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求函数值域。 11.设函数f(x)?11x
(x?1)(x?a)为奇函数，则a? ．
x12．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)＝________.
答案 －0.5
13．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＝________.
答案 －5解析 由f(x)在(－∞，＋∞)上是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即 f(－2)＝－f(2)，而f(2)＝ 22＋1＝5.∴f(－2)＝－5. 2.奇函数、偶函数的图像的性质：
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的对称图形（奇函数的图像不一定过原点）；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。 由于奇函数的图像关于原点对称，那么我们可以得出结论：如果奇函数f(x)的定义域为R时，那么必有
f(0)?0。
如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数。f(x)＝f(|x|)
高一数学《函数奇偶性》教案
