人教版高中数学选修2-2
§1.3.2函数的极值与导数导学案
学习目标与要求：1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤； 自主学习过程： 一、复习与思考：
1、如何利用导数求函数的单调区间？
2、观察课本图1.3-8，我们发现，t?a时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？
二、学习探究： 探究：函数的极值
观察课本图1.3-10，1.3-11所表示的函数y?f(x)的图象，回答以下问题：
（1）函数y=f(x)在a,b,c,d,e,f,g,h等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2）函数y=f(x)在这些点处的导数值是多少? （3）在这些点附近, y=f(x)的导数的符号有什么规律？
从上图可以看出，函数y=f(x)在点x?a的函数值f(a)比它在点x?a附近的函数值都 ，f'(a)= ；并且在点x?a的左侧f'(x) 0，右侧f'(x) 0。类似地，函数y=f(x)在
点x?b的函数值f(b)比它在点x?b附近的函数值都 ，f'(b)= ；并且在点x?b的左侧f'(x) 0，右侧f'(x) 0。
新知1：函数极值的有关定义：我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。
说明：⑴极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
⑵函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
⑶极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值；
⑷函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点；
1
人教版高中数学选修2-2
⑸函数的极值点处的导数值一定为0，导数值为0的点不一定是函数的极值点，即函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件。 新知2：求函数y=f(x)的极值的方法步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)求方程f'(x)=0的根；
⑷用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x)在这个根处无极值
三、例题分析：
例1．求下列函数的极值。 ⑴f(x)?x2e?x；⑵ f(x)?
例2．求y=(x2－1)3+1的极值。
变式练习：1．求下列函数的极值. (1) y=x3－27x；⑵y?x3?
2
2xx2?1?2。
3x 4人教版高中数学选修2-2
2.已知函数f(x)?ln(1?x2)?
【课堂练习】
1、若函数y?f(x)是定义在R上的可导函数，则 “f'(x0)?0”是“x0为函数y?f(x)的极值点”的 ( )
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2、函数f(x)?1?lnx，则y?f(x) ( ) x121x?，求f(x)极值，并画出它的大致图象。 22A．有极小值0，无极大值 B．有极小值1，无极大值 C．仅有极大值1 D．无极值
3、函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)yy?f?(x)在开区间(a,b)内有极小值点 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个 4、函数f(x)?1?3x?x3有（ ）
abO x A．极小值－１，极大值１ B．极小值－２，极大值３ C．极小值－２，极大值２ D．极小值－１，极大值３
5、函数f(x)?ax3?bx在x?1处有极值-2，则a,b的值分别为 （ ） A．1,-3 B．1,3 C．-1,3 D．-1,-3 6、函数f(x)?x3?3bx?3b在(0,1)有极小值，则 A．0
1 2 3
高中数学选修2-2学案1：1.3.2函数的极值与导数
