f′（x）＝+＞0，（x＞0且x≠1），
∴f（x）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增， ①在（0，1）区间取值有∵f（
，代入函数，由函数零点的定义得，
）?f（）＜0，
）＜0，f（）＞0，f（
∴f（x）在（0，1）有且仅有一个零点，
②在（1，+∞）区间，区间取值有e，e代入函数，由函数零点的定义得， 又∵f（e）＜0，f（e）＞0，f（e）?f（e）＜0， ∴f（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点， 故f（x）在定义域内有且仅有两个零点； （2）x0是f（x）的一个零点，则有lnx0＝曲线y＝lnx，则有y′＝；
由直线的点斜式可得曲线的切线方程，
曲线y＝lnx在点A（x0，lnx0）处的切线方程为：y﹣lnx0＝
（x﹣x0），
，
2
22
即：y＝
x﹣1+lnx0，将lnx0＝x+
x
代入，
即有：y＝，
，
）处的切线方程为：y﹣
＝
（x﹣ln
）
而曲线y＝e的切线中，在点（ln＝
x+lnx0，
将lnx0＝
代入化简，即：y＝x+，
x
故曲线y＝lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y＝e的切线． 故得证．
【点评】本题考查f（x）的单调性，函数导数，在定义域内根据函数零点大致区间求零点个数，以及利用曲线的切线方程定义证明．
21．（12分）已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率
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之积为﹣．记M的轨迹为曲线C． （1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G． （i）证明：△PQG是直角三角形； （ii）求△PQG面积的最大值．
【分析】（1）利用直接法不难得到方程；
（2）（i）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），E（x0，0），利用直线QE的方程与椭圆方程联立求得G点坐标，去证PQ，PG斜率之积为﹣1； （ii）利用S＝函数可得最值．
【解答】解：（1）由题意得
，
，代入已得数据，并对
换元，利用“对号”
整理得曲线C的方程：，
∴曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆；
（2）
（i）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0）， E（x0，0），G（xG，yG）， ∴直线QE的方程为：
，
与联立消去y，
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得，
∴，
∴，
∴＝，
∴
＝
＝
＝，
把代入上式，
得kPG＝
＝
＝﹣，
∴kPQ×kPG＝∴PQ⊥PG，
故△PQG为直角三角形；
＝﹣1，
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（ii）S△PQG＝＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
令t＝，则t≥2，
S△PQG＝
＝
利用“对号”函数f（t）＝2t+在[2，+∞）的单调性可知， f（t）∴
（t＝2时取等号）， ＝
（此时
），
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故△PQG面积的最大值为．
【点评】此题考查了直接法求曲线方程，直线与椭圆的综合，换元法等，对运算能力考查尤为突出，难度大．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在极坐标系中，O为极点，点M（ρ0，θ0）（ρ0＞0）在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A（4，0）且与OM垂直，垂足为P． （1）当θ0＝
时，求ρ0及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程． 【分析】（1）把θ0＝
直接代入ρ＝4sinθ即可求得ρ0，在直线l上任取一点（ρ，θ），
利用三角形中点边角关系即可求得l的极坐标方程；
（2）设P（ρ，θ），在Rt△OAP中，根据边与角的关系得答案． 【解答】解：（1）当θ0＝
时，
， ，
；
在直线l上任取一点（ρ，θ），则有故l的极坐标方程为有
（2）设P（ρ，θ），则在Rt△OAP中，有ρ＝4cosθ， ∵P在线段OM上，∴θ∈[
，
]，
，
]．
故P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈[
【点评】本题考查解得曲线的极坐标方程及其应用，画图能够起到事半功倍的作用，是基础题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）． （1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；
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2019年宁夏高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅱ)
