第4节 二次函数与幂函数

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级 知识夯实练

1．若f(x)是幂函数，且满足1

A．

2C．2

a

f(9)1

＝2，则f()＝( ) f(3)9

1

B．

4D．4

f(9)9a

解析：选B．设f(x)＝x，由＝a＝2，得a＝log3 2，

f(3)3111

∴f()＝()log32＝.故选B．

994

2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( ) A．y＝x2 C．y＝x2

－

B．y＝x1 D．y＝x

1

3

－

解析：选A．函数y＝x－2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y＝x－1为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y＝x2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；函数y＝x为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．故选A．

3．已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为( )

A．{－3，0}

C．(－∞，－3]∪[0，＋∞)

B．[－3，0] D．{0，3}

1

3

解析：选A．由题意得：Δ＝[－2(m＋3)]2－4×3·(m＋3)＝0，得m＝－3或0，故选A． 4．已知函数y＝xa，y＝xb，y＝cx的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为( )

A．c

11

解析：选A．由图象可知，a>1，b＝，0b>c，故选A．

22

5．函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是( ) A．[－3，0) C．[－2，0]

B．(－∞，－3] D．[－3，0]

解析：选D．当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足条件．当a≠0a<0，??3－a时，f(x)图象的对称轴为直线x＝，由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减知，?3－a解

2a

??2a≤－1，得－3≤a<0.

综上，a的取值范围为[－3，0]．故选D．

6．已知函数y＝x2－2x＋3在[0，m]上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为( )

A．[0，1] C．(1，2]

B．[1，2] D．(1，2)

解析：选B．如图，作出函数y＝x2－2x＋3的图象，由图象可知m的取值范围是[1，2]．故选B．

7．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )

b

解析：选D．A项，因为a＜0，－＜0，所以b＜0.又因为abc＞0，所以c＞0，由图

2ab

象知f(0)＝c＜0，故A项不可能；B项，因为a＜0，－＞0，所以b＞0，又因为abc＞0，

2ab

所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B项不可能；C项，因为a＞0，－＜0，所以b＞0，又因为

2ab

abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C项不可能；D项，因为a＞0，－＞0，所以b＜0，

2a

又因为abc＞0，所以c＜0，由图象知f(0)＝c＜0.故选D．

8．已知f(x)＝x2＋2x＋1＋a，?x∈R，f(f(x))≥0恒成立，则实数a的取值范围为( ) A．[

5－1

，＋∞) 2

B．[

5－3

，＋∞) 2

C．[－1，＋∞) D．[0，＋∞)

解析：选B．设t＝f(x)＝(x＋1)2＋a≥a，∴f(t)≥0对任意t≥a恒成立，即(t＋1)2＋a≥0对任意t∈[a，＋∞)恒成立，当a≤－1时，f(t)min＝f(－1)＝a≤－1，不符合题意；当a>－1时，f(t)min＝f(a)＝a2＋3a＋1，则

a2＋3a＋1≥0，得

5－3a≥.故选B．

2

9．已知函数f(x)＝x2－2ax＋4在(－1，＋∞)上是增函数，则f(2)的取值范围为________． 解析：由于函数在(－1，＋∞)上是增函数，故a≤－1， ∴f(2)＝8－4a≥12. 答案：[12，＋∞)

10．(2024·烟台二模)设函数f(x)＝－2x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－6，2]，则m＋n的取值范围是________．

解析：令f(x)＝－6，解得x＝－1或3，令f(x)＝2，解得x＝1，又f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，故当m＝－1，n＝1时，m＋n取得最小值0；当m＝1，n＝3时，m＋n取得最大值4.即m＋n∈[0，4]．

答案：[0，4]

B级 能力提升练

11．(多选题)(2024·茂名模拟)函数y＝ax(a>0，a≠1)与y＝xb的图象如图，则下列不等式一定成立的是( )

A．ba＞0 C．ab＜1

B．a＋b＞0 D．loga2＞b

解析：选CD．由题中图象可知a＞1，b＜0，故loga2＞0，所以loga2＞b.0＜ab＜1，故选CD．

1

12．(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过点(，2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1

4象上不同的两点，给出以下结论：

222

①x1f(x1)>x2f(x2)；②x1f(x1)x1f(x2)；④x2f(x1)

其中正确结论的序号为( ) A．① C．③

B．② D．④

111

解析：选BC．设函数f(x)＝xα，依题意有()α＝2，所以α＝－，因此f(x)＝x－.令g(x)

422

1

1

＝xf(x)＝x·x－＝x2，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，而0

2

1x－2f(x)5

x1f(x1)

xx2f(x1)f(x2)2

递减，而0h(x2)，即2>2，于是x2故③正确，④错误．故2f(x1)>x1f(x2)，x1x2选BC．

13．(浙江卷)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )

A．与a有关，且与b有关 C．与a无关，且与b无关 a2a2

解析：选B．f(x)＝(x＋)－＋b，

24

aaa2

①当0≤－≤1时，f(x)min＝m＝f(－)＝－＋b，

224f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b，1＋a＋b}， a2a2

∴M－m＝max{，1＋a＋}与a有关，与b无关；

44a

②当－<0时，f(x)在[0，1]上单调递增，

2∴M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a与a有关，与b无关； a

③当－>1时，f(x)在[0，1]上单调递减，

2

∴M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a与a有关，与b无关． 综上所述，M－m与a有关，但与b无关．故选B．

14．若函数f(x)＝x2＋a|x－2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．

B．与a有关，但与b无关 D．与a无关，但与b有关

2??x＋ax－2a，x≥2，

解析：f(x)＝?若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，注意到f(x)在x

2??x－ax＋2a，0

?

＝2处连续，则只需?a

?2≤0

答案：[－4，0]

a

－≤2，2

?－4≤a≤0.

C级 素养达成练

15．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且a＞b＞c，a＋b＋c＝0，集合A＝{m|f(m)＜0}，则( ) A．?m∈A，都有f(m＋3)＞0 B．?m∈A，都有f(m＋3)＜0 C．?m0∈A，使得f(m0＋3)＝0 D．?m0∈A，使得f(m0＋3)＜0

解析：选A．由a＞b＞c，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0， 且f(1)＝0，f(0)＝c＜0，

即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根， 当x＞1时，f(x)＞0. b由a＞b，得1＞，

a

设方程ax2＋bx＋c＝0的另一个根为x1， b

则x1＋1＝－＞－1，即x1＞－2，

a由f(m)＜0可得－2＜m＜1， 所以1＜m＋3＜4，

由抛物线图象可知，f(m＋3)＞0，故选A．

x3

16．设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈[，＋∞)，f()－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，

m2则实数m的取值范围是________．

x231

解析：由题可得2－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)(x∈[，＋∞))恒成立，即2

m2m323113

－4m2≤－2－＋1在x∈[，＋∞)上恒成立．令φ(x)＝－3·()2－2·＋1，x∈[，＋∞)，

xxxx22332251

易知φ(x)在[，＋∞)上为增函数，∴φ(x)min＝φ()＝－3×()2－2×＋1＝－.∴2－4m2

22333m