§必修1.1.1.2 集合间的基本关系
教学目标 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2.在具体情境中，了解空集的含义. 3.能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系.
学习内容
1．子集
知识梳理
自然语言 如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，就是说这两个集合有包含关系， 称集合A为集合B的子集 A?B(或B?A) 符号语言 图形语言
例如：A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2,3}，则A、B的关系是A?B或B?A．
2．真子集 自然语言 如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，则称集合A是集合B的真子集 符号语言 A?B(或B?A) 图形语言
例如：A＝{1,2}, B＝{1,2,3}，则A、B的关系是A?B(或B?A)．
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3．相等
若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B. 例如：若A＝{0,1,2}，B＝{x,1,2}，且A＝B，则x＝0.
4．空集
没有任何元素的集合叫空集，记为?.
例如：方程x2＋2x＋3＝0的实数解的集合为?． 问题：空集中没有元素，为什么还是集合？
解析：产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的背景，其突破方法是通过实例来体会．例如方程的解
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能够组成集合，这个集合叫做方程的解集，对于＝0，x2＋4＝0等方程来说，它们的解集中没有元素，也就是说确实
x存在没有任何元素的集合，那么如何用数学符号来刻画没有任何元素的集合呢？为此引进了空集的概念，把不含任何元素的集合叫空集．由此看出，空集的概念是一个规定．
例题讲解
题型一 集合间关系的判断
例1 下列各式正确的是________
(1){a}?{a}；(2){1,2,3}＝{3,2,1}；(3)??{0}；(4)0?{0}； (5){1}?{x|x≤5}；(6){1,3}?{3,4}．
分析：利用子集、真子集、集合相等的概念判断． 解析： 题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6)
正误 √ √ √ × √ × 任何一个集合都是它本身的子集 原因 两集合中的元素是一样的，符合集合相等的定义 空集是任何非空集合的真子集 元素0是集合{0}中的一个元素，故应为0∈{0} ∵1＜5，∴1∈{x|x≤5}．∴{1}?{x|x≤5}．又∵{1}≠{x|x≤5}，∴{1}∵1∈{1,3}，但1?{3,4}，∴{1,3}不是{3,4}的子集，更不是真子集 {x|x≤5} 2
答案：(1)(2)(3)(5)
点评：两集合间关系的判断： (1)用定义判断．
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A?B，否则A不是B的子集； 其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一集合A，若是，则B?A，否则B不是A的子集； 若既有A?B，又有B?A，则A＝B. (2)数形结合判断．
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
巩 固 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}； (3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}．
答案：(1)B?A;
(2)A?B;
(3) A?B.
题型二 子集关系的理解应用
例2 写出满足{a，b}?A?{a，b，c，d}的所有集合A.
解析：满足{a，b}?A?{a，b，c，d}集合分别为：{a，b}；{a，b，c}；{a，b，d}；{a，b，c，d}． 点评：写满足条件的集合考虑问题要全面，元素c，d可都不考虑选取，可选取一个，也可以选取两个．
巩 固 已知{x|x2－1＝0}?A?{－1,0,1}，试写出所有集合A．
答案：{－1, 1}；{－1,0,1}．
题型三 集合的表示法
例3 若{1,2}＝{x|x2＋ax＋b＝0}，则a＝________.b＝________.
解析：由题意知，1和2为方程x2＋ax＋b＝0的两根，∴－a＝1＋2，b＝1×2.∴a＝－3，b＝2. 答案：－3 2
点评：1.若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．
2．若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足的条件是否一致．若均
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一致，则两集合相等．
3．证明两集合相等的常用思路是证A?B且B?A.
巩 固 设a,b∈R，集合{1，a+b，a}={0，
答案：2
点评：若集合A、B为有限集，只要两集合中元素个数相同，对应元素分别相同，即A＝B，若集合A、B为无限集，则要看代表元素及代表元素满足的条件是否一致．
b，b}，则b-a=________. a综合题库
A组
1．集合{1,2,3}的子集共有( ) A．8个 B．7个 答案：A
2．P＝{x|x≤10}，M＝{x|x≤3}，则M______P.(填?或?) 答案：?
3．用适当的符号填空：{0}________?，0________?.
答案：?或?， ?
B组
1．下列关系：①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③?{0,1,2}；④{0,1,2}?{0,1,2}；⑤{0,1,2}＝{2,0,1}．其中错误的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：只有②不正确．故选A. 答案：A
2．集合M＝{2,4,6}的真子集的个数为( )
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
C．6个 D．5个
4
答案：B
3．用Venn图画出下列两个集合的关系： (1)A＝{0,1,2}，B＝{1,2,4}； (2)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3}．
答案：
4．已知集合A＝{1,2，x}，B＝{1,2，x2}且A＝B，求实数x的值．
解析：因为A＝B，所以x＝x2，
当x＝1时A＝{1,2,1}不符合元素互异性，舍去； 当x＝0时A＝B＝{1,2,0}．故x＝0.
5．写出满足{a，b}A?{a，b，c，d，e}的所有集合A.
解析：满足{a，b}A?{a，b，c，d，e}的集合分别为：{a，b，c}；{a，b，d}；{a，b，e}；{a，b，c，d}；{a，b，c，e}；{a，b，d，e}；{a，b，c，d，e}．
6．(1)写出集合{1,2,3}的所有真子集．
答案：集合{1,2,3}的所有真子集分别是：?；{1}；{2}；{3}；{1,2}；{1,3}；{2,3}
(2)集合{1,2,3}的子集有：________个，真子集有________个，非空真子集有________个．
答案：(2)8 7 6
C组
k??k
1．已知集合A＝?x|x＝3，k∈Z?，B＝x|x＝，k∈Z则( )
6??
A．AB B．BA
C．A＝B D．A与B关系不确定
kmm1
解析：对B集合中，x＝，k∈Z，当k＝2m时，x＝，m∈Z；当k＝2m－1时，x＝－，m∈Z，故按子集的定
6336义，必有AB.
答案：A
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2．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}，P＝{(x，y)|x<0，y<0}，则M，P的关系是________．
答案：M＝P
3．集合A＝{1,3，a}，B＝{a2}，且BA，求实数a的取值的集合．
解析：由于B＝{a2}A＝{1,3，a}，
∴①a2＝1，得a＝1(不合题意，舍去)或a＝－1，
4．已知集合：A＝{x|－1＜x≤5}，B＝{x|m－5≤x≤2m＋3}且A?B，求实数m的取值范围．
归纳总结
1．元素与集合之间是属于与不属于的关系，集合与集合之间是包含与不包含的关系． 2．集合相等必须元素全部相同，但顺序和表达方式可以不同． 3．空集是任何集合的子集，任何集合是它自己的子集． 4．Venn图是表达非确定集合关系的直观方法．
5．无限集大多可用数轴表示．一般n个元素的集合有2n个子集，其中2n－1个真子集．非空子集：2n－1个非空真子集为：2n－2个.
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高中数学集合必修1.1.1.2集合间的基本关系（教师） - 图文
