一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm， ∴AC=10，
①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，
五边形
OECQF：S△ACD=9：16？若存
∴AM= AO= ，
∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD， ∴△APM∽△ADC， ∴
，
∴AP=t= ， ②当AP=AO=t=5，
∴当t为 或5时，△AOP是等腰三角形
（2）解：作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，
在△APO与△CEO中，
∵∠PAO=∠ECO，AO=OC，∠AOP=∠COE， ∴△AOP≌△COE， ∴CE=AP=t， ∵△CEH∽△ABC， ∴
，
∴EH= ， ∵DN= = ，
∵QM∥DN， ∴△CQM∽△CDN，
∴ ，即
，
∴QM= ，
∴DG=
= ，
∵FQ∥AC， ∴△DFQ∽△DOC， ∴
，
∴FQ= ， ∴S
五边形OECQF=S△OEC+S
四边形
OCQF=
，
=
∴S与t的函数关系式为 （3）解：存在， ∵S△ACD= ×6×8=24， ∴S
OECQF：S△ACD=（
五边形
）：24=9：16，解得t= ，t=0，（不合题意，
舍去），
∴t= 时，S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16
（4）解：如图3，过D作DM⊥AC于M，DN⊥AC于N，
∵∠POD=∠COD， ∴DM=DN= ， ∴ON=OM= ∵OP?DM=3PD， ∴OP= ∴PM= ∵ ∴
， ，
， = ，
，解得：t≈15（不合题意，舍去），t≈2.88，
∴当t=2.88时，OD平分∠COP．
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得：AB=CD=6，BC=AD=8，所以AC=10；而P、Q两点分别从A点和D点同时出发且以相同的速度为1cm/s运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，所以点P不可能运动到点D；所以△AOP是等腰三角形分两种情况讨论：①当AP=PO=t时，过P作PM⊥AO，易证△CQM∽△CDN，可得比例式即可求解；②当AP=AO=t=5时，△AOP是等腰三角形；
（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，可将五边形转化成一个三角形和一个直角梯形，则五边形OECQF的面积S=三角形OCE的面积+直角梯形OCQF的
面积；
（3）因为三角形ACD的面积=ADCD=24，再将（2）中的结论代入已知条件S五边形S
五边形
OECQF：S△ACD=9：16中，可得关于t的方程，若有解且符合题意，则存在，反之，不存
在；
（4）假设存在。由题意，过D作DM⊥AC于M，DN⊥AC于N，根据角平分线的性质可得DM=DN，由面积法可得;三角形ODP的面积=OP定理可得关于t的方程，解这个方程即可求解。
DM=PD
CD=
3PD,所以可得
OP?DM=3PD，则用含t的代数式可将OP和PM表示出来，在直角三角形PDM中，用勾股
2．如图1，直线l： 段OA上一动点（0＜AC＜
与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线 ），以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，
交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．
（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值； （2）如图2，连结CE，当CE=EF时， ①求证：△OCE∽△OEA； ②求点E的坐标；
（3）当点C在线段OA上运动时，求OE·EF的最大值． 【答案】（1）解：把A（4，0）代入 解得b=3，
∴直线l的函数表达式为 ∴B（0,3），
∵AO⊥BO，OA=4，BO=3， ∴tan∠BAO= .
，
，得
×4+b=0，
（2）①证明：如图，连结AF，
∵CE=EF， ∴∠CAE=∠EAF， 又∵AC=AE=AF， ∴∠ACE=∠AEF， ∴∠OCE=∠OEA， 又∵∠COE=∠EOA， ∴△OCE∽△OEA.
②解：如图，过点E作EH⊥x轴于点H， ∵tan∠BAO= ， ∴设EH=3x，AH=4x， ∴AE=AC=5x，OH=4-4x， ∴OC=4-5x, ∵△OCE∽△OEA， ∴ = ， 即OE2=OA·OC，
∴（4-4x）2+（3x）2=4（4-5x）, 解得x1= ，x2=0（不合题意，舍去） ∴E（ ， ）.
（3）解：如图，过点A作AM⊥OF于点M，过点O作ON⊥AB于点N,
∵tan∠BAO= , ∴cos∠BAO= ,
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