第一节平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
例1．若向量a与b不相等，则a与b一定( )
A．有不相等的模 B．不共线 C．不可能都是零向量 D．不可能都是单位向量
例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则uABuur＝uDCuur等价于四边形
ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中正确命题的序号是( )
A．②③ B．①② C．③④
D．④⑤
CA
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律： 求两个向量和的运三角形法则 a＋b＝b＋a； 加法 算 (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) 平行四边形法则 求a与b的相反向减法 量－b的和的运算a－b＝a＋(－b) 叫做a与b的差 三角形法则 (1)|λa|＝|λ||a|； 求实数λ与向量a(2)当λ＞0时，λa的方向与λ(μ a)＝(λμ)a； 数乘 的积的运算 a的方向相同；当λ＜0时，(λ＋μ)a＝λa＋μa； λa的方向与a的方向相反；λ(a＋b)＝λa＋λb 当λ＝0时，λa＝0 例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得( ) A.AB→ B.DA→ C.BC→ D．0
例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，uBAuur＋uCDuur＋uEFuur＝( )
A．0 B．uBEuur C．uADuur D．uCFuur
(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝1u2AB，BE＝23
BC.若uDEuur＝λuuurλuur1AB＋2AC
(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
巩固练习：
1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．
2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→
的关系是( ) A．平行 B．重合 C．垂直 D．不确
定
3．若菱形ABCD的边长为2，则|uABuur－uCBuur＋uCDuur|＝________
4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量uCDuur等于( )
A．－uBCuur＋1uBAuur B．－uBCuur－1uBAuur C．uBCuur－1uBAuur D．uBCuur＋1uuur222
2
BA
5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①uABuur＋uCDuur＝uBCuur＋uDAuur；②uACuur＋uBDuur＝uBCuur＋uADuur；③uACuur－uBDuur＝uDCuur＋uABuur.其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→
.
1→→→
DD 巩固练习 1。16a＋6b 2。C 3。2 4。A 5。C 6．解：AB＝AC＋CB＝－3a＋2b，∵D，E2
222→→1→→→→→→→→
为AB的两个三等分点，∴AD＝AB＝－a＋b＝DE. ∴CD＝CA＋AD＝3a－a＋b＝2a＋b.∴CE＝CD＋DE＝2a
3333
224＋b－a＋b＝a＋b. 333
uuuruuuruuur1
例5．－ 例6． [解] (1)证明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，
3
ruuuruuuruuuuuuruuuruuur∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB.∴AB，BD共线，
又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1. 11
C B D B －a＋b 2
44
3．共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线等价于存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
例5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________
uuuruuuruuur例6． 设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，
求证：A，B，D三点共线．(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． 巩固练习： 1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3
D．4
uuur1uuuruuur4．向量的中线公式: 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP＝(OA＋OB)．
2
5．三点共线等价关系
uuuruuuruuuruuuruuurOA＋tOB (O为平面内异于A，P，B的任A，P，B三点共线?AP＝λAB (λ≠0)?OP＝(1－t)·
uuuruuuruuur一点，t∈R)?OP＝xOA＋yOB (O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．
uuuruuuruuuruuuruuuruuur2.如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD＝( )
31311
A．a＋b B.a＋b C.a＋b
44444
31
D.a＋b 44
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
3．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝( )
A．a B．b C．c
D．0
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
ruuur1uuuuuur4如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，若AB＝4，且AD＝AC＋λAB (λ∈R)，则AD
4
的长为( )
A．23 B．33 C．43 D．53
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
2
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y1.
uuuruuuruuuruuuruuuur5．在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用
a，b表示)．
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
uuurrruuuruuuuuuruuuuuuur2
6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝________.
2
uuuruuur②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?x1y2－x2y1＝0.
→→
例7．若A(0,1)，B(1,2)，C(3,4)，则AB－2BC＝________
uuuur例8.已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN＝－3a，则点N的坐标为( )
A．(2,0) B．(－3,6) C．(6,2)
D．(－2,0)
→→→→→→→→
例10：（1）如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA→→→→→
|＝|OB|＝1，|OC|＝23，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
（3）．如图，已知C为?OAB边AB上一点，且AC?2CB,OC?mOA?nOB(m,n?R),则mn=__________
uuuruuuruuur例9．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c.(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.
巩固练习：
1．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝( ) A．3a＋b B．3a－b C．－a＋3b D．a＋3b
2．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a|等于( ) A.2 B.3 C.5 D.10
3．已知向量a＝(－3,2)，b＝(x，－4)，若a∥b，则x＝( ) A．4 B．5 C．6 D．7
→→
4．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且|AB|＝2|AP|，则点P的坐标为( ) A．(3,1) B．(1，－1) C．(3,1)或(1，－1) D．无数多个
1111
5．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当ka＋b与a－3b平行时，k＝( ) A. B．－ C．－ D.
4433
6．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值、最小值分别是( )D A．4 2，0 B．4 2，4 C．16,0 D．4,0
7．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,1)，若用a和b表示c，则c＝________.
8．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________.
.例7．(－3，－3) 例8.A 例9．解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
rruuuruuuruuurruuurruuur（2）已知AD,BE分别是?ABC的边BC,AC上的中线,且AD?a,BE?b,则BC可用向量a,b表示为_____
变式训练：
uuuruuuruuur1uuuruuur1.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若AD?2DB，CD?CA??CB,则??
32112A． B． C．? D．?
3333
（ ）A
12→→→
2..设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋
23λ2的值为________．
3.若M为?ABC内一点,且满足AM?
→→→
4..若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比为 1A. 5
2B. 5
3C. 5
9D. 25
( ) C
???－6m＋n＝5，?m＝－1，
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴?解得?
?－3m＋8n＝－5，???n＝－1.
B C C C C D 2a－b 5
31AB?AC,则?ABM与?ABC的面积之比为_________. 44平面向量基本定理及其应用：如果，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1
＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
特别注意：若e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， a＝λ1e1＋λ2e2，b??1e1??2e2则a?b????1??1
??2??23
12r4r例10：6 a?b 9 A 1:4 C
233 平面向量共线的坐标表示
例11．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数k取何值时，ka＋2b与2a－4b平行？
m
练习：1．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则等于( )C
n
11
A．－2 B．2 C．－ D.
22
2
平面向量的数量积及应用
知识梳理
1．两个向量的夹角
uuuruuur(1)定义：已知两个__________向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则__________称作向量a与
向量b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：向量夹角〈a，b〉的范围是__________，且__________＝〈b，a〉．
(3)向量垂直：如果〈a，b〉＝__________，则a与b垂直，记作__________．
2．平面向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义：__________叫作向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝__________.可见，a·b是实数，可以等于正数、负数、零．其中|a|cos θ(|b|cos θ)叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．
(2)向量数量积的运算律 ①a·b＝__________(交换律) ②(a＋b)·c＝__________(分配律) ③(λa)·b＝__________＝a·(λb)(数乘结合律)．
3．平面向量数量积的性质：已知非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2) 性质 几何表示 坐标表示 定义 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 a·b＝a1b1＋a2b2 a·a＝|a|2或|a|＝a·a 模 2 |a|?a12?a2uuuruuur2．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若AC＝2AB，求点C
的坐标．
3．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
例11．解法一：∵2a－4b≠0，∴存在唯一实数λ，使ka＋2b＝λ(2a－4b)．将a，b的坐标代入上式， 得(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得k－6＝14λ且2k＋4＝－4λ，解得k＝－1.
??k－2λ＝0，
解法二：同法一有ka＋2b＝λ(2a－4b)，即(k－2λ)a＋(2＋4λ)b＝0.∵a与b不共线，∴?
?2＋4λ＝0.?
∴k＝－1.
uuurruuuruuuruuu1．C 2．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC＝(a－1，b－1)，∵A，B，C三点共线，∴AB∥AC.
∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
uuur若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1) uuurAB＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2 a1b1＋a2b2＝0 cos〈a，b〉＝a⊥b 的等价条件 a·b＝0 a·bcos〈a，b〉＝ |a||b|(|a||b|≠0) |a·b|≤|a||b| ??uuuruuur?a－1＝4，?a＝5，
(2)∵AC＝2AB，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．∴?解得?
???b－1＝－4，?b＝－3.
∴点C的坐标为(5，－3)．
夹角 |a·b|与 |a||b|的 关系
一、平面向量数量积的运算
a1b1?a2b22a?a2122b?b2122 22 |a1b1?a2b2|?a12?a2b12?b2??－m＋4n＝3，
3．[解] (1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以?
??2m＋n＝2，
?m＝9，得?8
n＝?9.
5
ruuuruuuruuuBC，CD； 例1(1)在等边三角形ABC中，D为AB的中点，AB＝5，求AB·
(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，求(a－2b)·(2a＋3b)和|a＋2b|.
4
16
(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－
13
变式训练
1．已知下列各式：
a·bb
①|a|2＝a2；②2＝；③(a·b)2＝a2b2；④(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，其中正确的有( )．
|a|a
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.下列命题中：① a?(b?c)?a?b?a?c； ② a?(b?c)?(a?b)?c； ③ (a?b)?|a|?2|a|?|b|?|b|；
???????????????2?2???2
3x3xxxππ
cos，sin?，b＝?cos，－sin?，且x∈?－，?. 4.已知向量a＝?2?2??2?2?34?(1) 求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．
三、求夹角
例3已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ； ????④ 若a?3.已知rb?0，则a?2，rab?3，r?0a与r或b?0； ⑤若ra?rb?rcrrrb的夹角为120o，求（）1r?ba?r,则a?b；（2）rc； 其中正确的是______（答：①）
a2?rb2；（3）（2ra?rb）（?ra?3rb） 4..r3r已知a?，b?4，ra与rb的夹角为3?4，求(3ra?rb)?(ra?2rb)。
5．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则(b·c)a等于( )． A．(26，－78) B．(－28，－42) C．－52 D．－78
二、求平面向量的模
例2．（1）设向量ra,br满足ra?br?1及3ra?2rb?3，求3ra?rb的值 ．
（2）设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于( )．
A．5 B．6 C．17 D．26
变式训练
1．已知|a?|=2,|b?|=5,a?·b?=-3,则|a?+b?|= ,|a?-b?|=
2. 若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为π
3
，则|a＋b|＝__________.
3.△ABC中，|?AB??|?3，|AC??????|?4，|BC|?5，则AB?BC?_________（答：－9）；
变式训练：
1. 已知ra?1，rb?2，且ra?rb与ra垂直，求ra与rb的夹角。
2．若ra,br是非零向量且满足(ra?2rb)?ar，(br?2ra)?br ，则ar与rb的夹角（ ）
A. ?6 B. ?2?5?3 C. 3 D. 6
3.已知ra,br是两个非零向量，且ra?rb?ra?br，则ra与ra?rb的夹角为____（答：30o）
4、已知ar?(6,0)，br?(?5,5)，则ar与br的夹角为（ ） A、450 B、6001200
5.已知ra?(1,12),rb?(0,?12),rc?ra?kbr,udr?ra?rb，rc与udr的夹角为?4，则k等于____（答：1）；
?6.已知|a|?3?????，|b|?5，且a?b?12，则向量a在向量b上的投影为______（答：
125）
四。利用数量积解决垂直问题
5
C、1350D、
(完整版)平面向量全部讲义
