北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测
数学试卷（理工类） 2018.1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项. 1. 已知集合A={x|x(x-2)<0}，B={x|lnx>0}，则AIB是
A. {x|1
A.3 B. 4 C.10 D.10 3. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(x?2y?1)(x?y?3)?0表示的平面区域内
的是
A.(0，0) B.(?2，2) 0) C.(0，?1) D. (0，4.“sin??2”是“cos2?=0”的 2A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为
A. 4 B.
正视图 侧视图 4 3俯视图 C.42 D.42 3226. 已知圆(x?2)?y?9的圆心为C.直线l过点M(?2,0)且与x轴不重合，l交圆C于
A,B两点，点A在点M，B之间.过M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的
轨迹是
A. 椭圆的一部分 B. 双曲线的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 圆的一部分
7. 已知函数f(x)?x?x?a的图象与直线y??1的公共点不少于两个，则实数a的取值范围是
A.a??2 B.a??2 C.?2?a?0 D.a??2 8. 如图1，矩形ABCD中，AD?3.点E在AB边上， CE?DEDC且AE?1. 如图2，△ADE沿直线DE向上折起成△A1DE．记
AEB二面角A?DE?A1的平面角为?，当??0o，1800时， 图1 ① 存在某个位置，使CE?DA1；
A1??② 存在某个位置，使DE?AC1；
③ 任意两个位置，直线DE和直线A1C所成的角都不相等. A以上三个结论中正确的序号是
EDCB图2 A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③
开始 i=1，S=2 第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为 .
10. 执行如图所示的程序框图，输出S的值为 . 11.
S=i?S i=i+1 i>4? 是 否 YuuuruuuruuurABCD中，E,F分别为边BC,CD中点，若 AF?xAB?yAE
输出S 结束 （x,y?R），则x+y=_________.
12. 已知数列?an?满足an?1?an?an?1（n?2），a1?p，a2?q(p,q?R).设Sn?则a10? ;S2018? .（用含p,q的式子表示）
n?a，
ii?113. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位
同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：
(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2)的一种“图形证明”.
adaDdcCb
bbAcdBac
证明思路：
（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；
（2）左图中阴影区域的面积为ac?bd，右图中，设?BAD??，右图阴影区域的面积可
表示为_________（用含a,b,c,d，?的式子表示）；
（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式(ac?bd)?(a?b)(c?d). 当且仅当
22222a,b,c,d满足条件__________________时，等号成立.
14. 如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为?和90o??. 后退l (单位m)至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，
BAP2三点在同一条水平线上，则塔CB的高为 m；旗杆BA的高为 m.（用含有l和?的式子表示）
CP1P2三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)
已知函数f(x)?sinxcosx?sinx?（Ⅰ）求f(x)的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边，且满足bcos2A?bcosA?asinB，
且0?A?21. 2?，求f(B)的取值范围. 2
16. (本小题满分13分)
为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI）（AQI指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI指数表：单位（?g/m） 日期 AQI 日期 AQI 日期 AQI 1 47 12 270 23 47 2 123 13 78 24 155 3 232 14 40 25 191 4 291 15 51 26 64 5 78 16 135 27 54 6 103 17 229 28 85 337 159 18 270 29 75 8 132 19 265 30 249 9 37 20 409 31 329 10 67 21 429 11 204 22 151 表2：2017年12月AQI指数表：单位（?g/m） 日期 AQI 日期 AQI 日期 AQI 1 91 12 28 23 50 2 187 13 49 24 50 3 79 14 94 25 46 4 28 15 62 26 41 5 44 16 40 27 101 6 49 17 46 28 140 7 27 18 48 29 221 8 41 19 55 30 157 9 56 20 44 31 55 10 43 21 74 11 28 22 62 根据表中数据回答下列问题：
（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；
（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为?，求?的分布列及数学期望；
（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.
17. (本小题满分14分)
如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?90o，D是线段AC的中点，且A1D? 平面ABC． （Ⅰ）求证：平面A1BC?平面AAC11C； （Ⅱ）求证：B1C//平面A1BD；
A
D C
A1
B1 C1
B
（Ⅲ）若A1B?AC1，AC?BC?2，求二面角
A?A1B?C的余弦值.
18. (本小题满分13分)
已知函数f(x)?xcosx?a，a?R. （Ⅰ）求曲线y?f(x)在点x??处的切线的斜率； 2（Ⅱ）判断方程f?(x)?0（f?(x)为f(x)的导数）在区间?0,1?内的根的个数，说明理由； （Ⅲ）若函数F(x)?xsinx?cosx?ax在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a的取值
范围.
2017-2018北京市朝阳区高三第一学期期末数学理科试题含答案
