201x年全国各地高考文科数学试题分类汇编14：导数

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f'(x)?3x2?62x?3.

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令f(x)?0,得,x1?2?1,x2?2?1.

'当x?(??,2?1)时,f(x)?0,f(x)在(??,2?1)是增函数; '当x?(2?1,2?1)时,f(x)?0,f(x)在(2?1,2?1)是减函数; '当x?(2?1,??)时,f(x)?0,f(x)在(2?1,??)是增函数;

'(Ⅱ)由f(2)?0得,a??当a??5. 45,x?(2,??)时, 451f'(x)?3(x2?2ax?1)?3(x2?x?1)?3(x?)(x?2)?0,

22所以f(x)在(2,??)是增函数,于是当x?[2,??)时,f(x)?f(2)?0. 综上,a的取值范围是[?,??).

5413．（2013年高考辽宁卷（文））(I)证明:当x?0,1时，??2x?sinx?x; 2x3?2?x?2?cosx?4对x??0,1?恒成立，求实数a的取值范围. (II)若不等式ax?x?22

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.

【答案】

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?x2?2x?a,x?014．（2013年高考四川卷（文））已知函数f(x)??,其中a是实数.设

?lnx,x?0A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1?x2.

(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2?0,证明:x2?x1?1; (Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)函数f(x)的单调减区间为(??,?1),单调增区间为(?1,0),(0,??)

(Ⅱ)由导数的几何意义知,点A处的切线斜率为f?(x1),点B处的切线斜率为f?(x2), 故当点A,B处的切线互相垂直时,有f?(x1)?f?(x2)??1, 当x<0时,f(x)?2x?2

因为x1?x2?0,所以 (2x1?2)?(2x2?2)??1,所以2x1?2?0,2x2?2?0, 因此x2?x1?[?(2x1?2)?(2x2?2)]??(2x1?2)?(2x2?2)?1, (当且仅当?(2x1?2)?2x2?2?1,即x1??1231且x2??时等号成立) 22所以函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时有x2?x1?1. (Ⅲ)当x1?x2?0或x2?x1?0时,f?(x1)?f?(x2),故x1?0?x2.

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