111
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋n
232－11
A．1＋<2
211
C．1＋＋<3
23
11
B．1＋＋<2
23111
D．1＋＋＋<3 234
解析：∵n>1，且n∈N＋，∴n的第一个取值n0＝2. 11此时n＝.
2－13答案：B
2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是( ) A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确 B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确 C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1正确
D．假设n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)
解析：因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确．
答案： B
3
3．已知数列{an}的前n项之和为Sn且Sn＝2n－an(n∈N＋)，若已经算出a1＝1，a2＝，
2则猜想an＝( )
2n－1A.
n2n－1C.n－1 2
n＋1B.
n2n－1D.n－1 2
3
解析：∵a1＝1，a2＝，
23又S3＝1＋＋a3＝6－a3，
27∴a3＝.
4
153715
同理，可求a4＝，观察1，，，，…，
8248
1?2n－1?或a＝2－n容易猜想出an＝n1?. 2n－1??2－?答案：D
4．用数学归纳法证明不等式
11113
＋＋…＋>的过程中，由n＝k到n＝k＋1n＋1n＋2n＋n24
时，不等式左边的变化情况为( )
A．增加B．增加
1
2?k＋1?
11＋ 2k＋12?k＋1?
111＋，减少 2k＋12?k＋1?k＋111
，减少
2?k＋1?k＋1
C．增加D．增加
111
解析：当n＝k时，不等式的左边＝＋＋…＋，当n＝k＋1时，不等式的
k＋1k＋2k＋k左边＝
111111
＋＋…＋，又＋＋…＋－k＋2k＋3?k＋1?＋?k＋1?k＋2k＋3?k＋1?＋?k＋1?
?1＋1＋…＋1?111
＝＋－?k＋1k＋2?k＋k?2k＋12?k＋1?k＋1，所以由n＝k到n＝k＋1时，不等式的?
111
左边增加＋，减少. 2k＋12?k＋1?k＋1
答案：C
5．设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________. 解析：凸k＋1边形在凸k边形的基础上增加了一条边，同时内角和增加了一个三角形的内角和即π.
答案：π
6．用数学归纳法证明
1＋2＋22＋…＋2n1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下： ①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n＝k时，等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k1＝2k－1， 则当n＝k＋1时， 1＋2＋22＋…＋2
k－1
－－
1－2k1＋k
＋2＝＝2k1－1，
1－2
＋
所以，当n＝k＋1时等式成立． 由此可知，对任何n∈N＋，等式都成立． 上述证明的错误是________． 解析：当n＝k＋1时正确的解法是[]
1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1， 即一定用上第二步中的假设． 答案：没有用上归纳假设进行递推 7．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(1)计算a2，a3，a4；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明． a11
解：(1)a1＝1，a2＝＝，
1＋a12a2a311a3＝＝，a4＝＝. 1＋a231＋a341(2)由(1)的计算猜想知an＝n. 下面用数学归纳法进行证明． ①当n＝1时，a1＝1，等式成立． 1
②假设当n＝k时，等式成立，即ak＝，
kak1
那么ak＋1＝＝＝，
1＋ak1＋1k＋1
k即当n＝k＋1时，等式也成立．
1
根据①②可知，对任意n∈N＋都有an＝n.
1
8．已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N＋.证明an 2 ＋1 an (n∈N＋)． 1＋an 1k <2(n∈N＋)． 13 证明：①当n＝1时，a1＝1，a2＝a1(4－a1)＝， 22∴a1 ②假设n＝k时，有ak
北师大版数学高二-(北师大)选修2-2 作业 1.4数学归纳法
