2019年考研数学一真题试题
2018 年 12 月 23 日上午 8:30-11:30
绝密★启用前
（16数学一胡八一） 微信公众号：数学的情怀
考试形式：闭卷 考试时间：二^分钟 满分：150分
注意：1.所有答题都须写在试卷密封线右边，写在其他纸上一律无效.
2. 密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 3. 如答题空白不够，可写在当页背|虬并标明题号.
一、选择题：1?8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中只有一个选项是符题目要求的.
1、 若h T 0时，若x — tanx与xk
是同阶无穷小，则k=（
)
A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
设函数 /(]) = [
XW，ar<0
2、
jrlnZjZ > 0
则T = 0是f(x)的(
)
A. 可导点，极值点 B. 不可■导点，极值点 C. 可导点,非极值点 D. 不可导点，非极值点
3、 设｛g｝是单调増加的有界数列, 则下列級数中收敛的是（
)
OO
A.S\—
1 B￡(T)M
D
n=l n
n=l
n
-立
(Y+1 - <) n=l
4、 设函数QM）=捻如果对上半平面（2/ > 0）内的任意有向光滑封闭曲絞C都有/ F（w）& +
Q（Xly）dy = 0.那么函数P（z,y）可取为（
)
A. J/--J
/
B.——1 / j
1 1 r 1
俨 y 俨
C? -------
D. x ----
5、 x y y
设A是3阶实对称矩阵，8是3阶单位矩阵,
若泌+ A = 2E,且\\A\\ = 4,则二次型XTAX规范性为（ ）
A.域+调+ yl
B.讶+ g須一薩
C.诸一谚一場
D.F -谚一城
6、 如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程
+ ai2y + at3z = dt(i = 1,2,3)
组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵记为&彳，则（ ）
A. r{A) = 2, r(A = 3) B. r(A) = 2, r0 = 2) C. r(A) = 1, r(A = 2) D. r(A) = 1, r(A = 1)
合
2
7、设刀B为随机事件，则P(A) = P(B)的充分必要条件是(
A. P(AUB) = P(A) + P(B) B. P(AB) = P(A)P(B) C. P(A^) = P(B^) D. P (AB) = P (珂
8、 设随机变量X与丫相互独立，旦都服从正态分布'(“,°2),则P{\\X-Y\\<1}(
A. 与〃无关，而与a有关 B. 与〃有关，而与/无关 C. 与“，a都有关 D. 与〃，a2都无关
2
2
)
)
二、填空题：9.14小题，每小题4分，共24分.
9、 设函数/(u)可导，z = f(8iny — sinx) + xy^ 则 ---- ? —+ ----- ? ?
coe x ox cos y oy
(_Hn 彩级数立
11、 n=0 遠。—在(0,oo)内的和函数S(z)=
(2“)！
2
2
12、 设 ￡ 为曲面 + 护 + 奴2 = 4(^ < 0)的上侧，则 jj y/4 — x — 4zdxdy=.
13、 设A =(可,。2,。3)为3阶矩阵.若ana2线性无关，且凶=-ai + 2a2.则线性方程组Ar = 0的通 解为-
则 P{F(X)>EX-1}=.
(
-,0 2 0,其他 , F(T)为X的分布函数，EX为X的数学期望, 三、解答题：15.23小题，共94分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤. 15、 (本小题满分10分) 设函数！/(工)是微分方程/ + zy =厂#满足条件1/(0) = 0的特解. (1) 求 y(z). (2) 求曲线y =亦)的凹凸区间及拐点. 16、 (本小题满分10分) 设a,b为实数，函数z = 2 + g2 +知2在点(3,4)处的方向导数中，沿方向Z = -3i - 4j的方向导数最 大，最大值为10. (1) 求 a,b. (2) 求曲面z = 2 + a/ + S/2(z《o)的面积. 17、 (本小题满分10分) 求曲线y = e^x sinx(x > 0) z轴之间图形的面枳. 18、 (本小题满分10分) 设 a- = [ xn Vl — (n = 0,1,2 ? ? ?) Jo fl — 1 (1) 证明：数列｛%｝单调减少，且 Qn = — an_2 (n = 2,3,-..)n + 2 ： (2) 求 nT8 alim Qw n_i 19、 (本小题满分10分) 设Q是曲面方程/ +(V _ z)2 -(1- z)2(0 < 2 < 1)与平面z = 0围成的锥体，求Q的形心坐标. 20、(本小题满分11分) 已知向景组 ■ ■ ■ a ■ ■ ■ ■ ■ a 1 1 1 1 0 (I)ai = 1 = 0 ??3 = 2 ,(H) ft = 1 = 2 ,03 = 4 4 a2 4-3 a + 3 1 — a ■ a 若向景组I与向昂:组II等价，求a的取值，并将。3用5,。2,。3线性表示. 21、(本小题满分11分) -2 -2 1 2 1 0 若刀= 2 i —2 ? B = 0-10 相 0 ■ ■0-2 0 0 j/ ⑴求x,y. ⑵求可逆矩阵P使得P~XAP = B. 22、 (本小题满分11分) 设随机变量X与丫相互独立,X服从参数为1的指数分布,丫的概率分布为F{V = -1} = p, P{Y = 1} = = XY. (1) 求Z的概率密度. (2) 当p为何值时，X与Z不相关. (3) X与Z是否相互独立. 23、 (本小题满分10分) 设总体X的概率密度为 ， ( A _(?-1?户 /F'd 0,i < 〃 其中〃是已知参数.b>0是未知参数，A是常数.Xi,X2,???，Xn是来自总体X的简单随机样本. (1)求 A. (2)求a2的最大似然估计景. 3 1 3 + 3 1-p,令 Z
2019年考研数学一真题试题(1)
