2020年陕西省中考数学试卷
一.选择题(共10小题) 1.﹣18的相反数是( ) A.18
B.﹣18
C.
D.﹣
2.若∠A=23°,则∠A余角的大小是( ) A.57°
B.67°
C.77°
D.157°
3.2019年,我国国内生产总值约为990870亿元,将数字990870用科学记数法表示为( ) A.9.9087×105
B.9.9087×104
C.99.087×104
D.99.087×103
4.如图,是A市某一天的气温随时间变化的情况,则这天的日温差(最高气温与最低气温的差)是( )
A.4℃
B.8℃
C.12℃
D.16℃
5.计算:(﹣x2y)3=( ) A.﹣2x6y3
B.
x6y3
C.﹣
x6y3
D.﹣
x5y4
6.如图,在3×3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,若BD是△ABC的高,则BD的长为( )
A.
B.
C.
D.
7.在平面直角坐标系中,O为坐标原点.若直线y=x+3分别与x轴、直线y=﹣2x交于点A、B,则△AOB的面积为( ) A.2
B.3
C.4
D.6
8.如图,在?ABCD中,AB=5,BC=8.E是边BC的中点,F是?ABCD内一点,且∠BFC=90°.连接AF并延长,交CD于点G.若EF∥AB,则DG的长为( )
A.
B.
C.3
D.2
9.如图,△ABC内接于⊙O,∠A=50°.E是边BC的中点,连接OE并延长,交⊙O于点D,连接BD,则∠D的大小为( )
A.55°
B.65°
C.60°
D.75°
10.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2﹣(m﹣1)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单位.则平移后得到的抛物线的顶点一定在( ) A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
二.填空题(共4小题) 11.计算:(2+
)(2﹣
)= .
12.如图,在正五边形ABCDE中,DM是边CD的延长线,连接BD,则∠BDM的度数是 .
13.在平面直角坐标系中,点A(﹣2,1),B(3,2),C(﹣6,m)分别在三个不同的象限.若反比例函数y=(k≠0)的图象经过其中两点,则m的值为 . 14.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,点E在边AD上,且AE=2.若直线l经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF的长为 .
三.解答题(共11小题) 15.解不等式组:
16.解分式方程:﹣=1.
17.如图,已知△ABC,AC>AB,∠C=45°.请用尺规作图法,在AC边上求作一点P,使∠PBC=45°.(保留作图痕迹.不写作法)
18.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C.E是边BC上一点,且DE=DC.求证:AD=BE.
19.王大伯承包了一个鱼塘,投放了2000条某种鱼苗,经过一段时间的精心喂养,存活率大致达到了90%.他近期想出售鱼塘里的这种鱼.为了估计鱼塘里这种鱼的总质量,王大伯随机捕捞了20条鱼,分别称得其质量后放回鱼塘.现将这20条鱼的质量作为样本,统计结果如图所示:
(1)这20条鱼质量的中位数是 ,众数是 . (2)求这20条鱼质量的平均数;
(3)经了解,近期市场上这种鱼的售价为每千克18元,请利用这个样本的平均数.估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元?
20.如图所示,小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元,他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN.他俩在小明家的窗台B处,测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数,由于楼下植物的遮挡,不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数.于是,他俩上楼来到小华家,在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数,竟然发现∠1与∠2恰好相等.已知A,B,C三点共线,CA⊥AM,NM⊥AM,AB=31m,BC=18m,试求商业大厦的高MN.
21.某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术.这种瓜苗早期在农科所的温室中生长,长到大约20cm时,移至该村的大棚内,沿插杆继续向上生长.研究表明,60天内,这种瓜苗生长的高度y(cm)与生长时间x(天)之间的关系大致如图所示. (1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当这种瓜苗长到大约80cm时,开始开花结果,试求这种瓜苗移至大棚后.继续生长大约多少天,开始开花结果?
22.小亮和小丽进行摸球试验.他们在一个不透明的空布袋内,放入两个红球,一个白球和
一个黄球,共四个小球.这些小球除颜色外其它都相同.试验规则:先将布袋内的小球摇匀,再从中随机摸出一个小球,记下颜色后放回,称为摸球一次.
(1)小亮随机摸球10次,其中6次摸出的是红球,求这10次中摸出红球的频率; (2)若小丽随机摸球两次,请利用画树状图或列表的方法,求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率.
23.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠BAC=75°,∠ABC=45°.连接AO并延长,交⊙O于点D,连接BD.过点C作⊙O的切线,与BA的延长线相交于点E. (1)求证:AD∥EC;
(2)若AB=12,求线段EC的长.
24.如图,抛物线y=x2+bx+c经过点(3,12)和(﹣2,﹣3),与两坐标轴的交点分别为A,B,C,它的对称轴为直线l. (1)求该抛物线的表达式;
(2)P是该抛物线上的点,过点P作l的垂线,垂足为D,E是l上的点.要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等,求满足条件的点P,点E的坐标.
25.问题提出
(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC,DF⊥BC.垂足分别为E,F,则图1中与线段CE相等的线段是 . 问题探究
(2)如图2,AB是半圆O的直径,AB=8.P是
上一点,且
=2
,连接AP,BP.∠
APB的平分线交AB于点C,过点C分别作CE⊥AP,CF⊥BP,垂足分别为E,F,求线段CF的长. 问题解决
(3)如图3,是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知⊙O的直径AB=70m,点C在⊙O上,且CA=CB.P为AB上一点,连接CP并延长,交⊙O于点D.连接AD,BD.过点P分别作PE⊥AD,PF⊥BD,重足分别为E,F.按设计要求,四边形PEDF内部为室内活动区,阴影部分是户外活动区,圆内其余部分为绿化区.设AP的长为(xm),阴影部分的面积为y(m2). ①求y与x之间的函数关系式;
②按照“少儿活动中心”的设计要求,发现当AP的长度为30m时,整体布局比较合理.试求当AP=30m时.室内活动区(四边形PEDF)的面积.
2020年陕西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题) 1.﹣18的相反数是( ) A.18
B.﹣18
C.
D.﹣
【分析】直接利用相反数的定义得出答案. 【解答】解:﹣18的相反数是:18. 故选:A.
2.若∠A=23°,则∠A余角的大小是( ) A.57°
B.67°
C.77°
D.157°
【分析】根据∠A的余角是90°﹣∠A,代入求出即可. 【解答】解:∵∠A=23°, ∴∠A的余角是90°﹣23°=67°. 故选:B.
3.2019年,我国国内生产总值约为990870亿元,将数字990870用科学记数法表示为( ) A.9.9087×105
B.9.9087×104
C.99.087×104
D.99.087×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.
【解答】解:990870=9.9087×105, 故选:A.
4.如图,是A市某一天的气温随时间变化的情况,则这天的日温差(最高气温与最低气温的差)是( )
A.4℃ B.8℃ C.12℃ D.16℃
【分析】根据A市某一天内的气温变化图,分析变化趋势和具体数值,即可求出答案. 【解答】解:从折线统计图中可以看出,这一天中最高气温8℃,最低气温是﹣4℃,这一天中最高气温与最低气温的差为12℃, 故选:C.
5.计算:(﹣x2y)3=( ) A.﹣2x6y3
B.
x6y3
C.﹣
x6y3
D.﹣
x5y4
【分析】根据积的乘方运算法则计算即可,积的乘方,等于每个因式乘方的积. 【解答】解:(﹣x2y)3=故选:C.
6.如图,在3×3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,若BD是△ABC的高,则BD的长为( )
=
.
A.
B.
C.
D.
【分析】根据勾股定理计算AC的长,利用面积差可得三角形ABC的面积,由三角形的面积公式即可得到结论.
【解答】解:由勾股定理得:AC=∵S△ABC=3×3﹣∴∴∴BD=故选:D.
7.在平面直角坐标系中,O为坐标原点.若直线y=x+3分别与x轴、直线y=﹣2x交于点A、B,则△AOB的面积为( )
, , ,
=
, =3.5,
A.2 B.3 C.4 D.6
【分析】根据方程或方程组得到A(﹣3,0),B(﹣1,2),根据三角形的面积公式即可得到结论.
【解答】解:在y=x+3中,令y=0,得x=﹣3, 解
得,
,
∴A(﹣3,0),B(﹣1,2), ∴△AOB的面积=故选:B.
8.如图,在?ABCD中,AB=5,BC=8.E是边BC的中点,F是?ABCD内一点,且∠BFC=90°.连接AF并延长,交CD于点G.若EF∥AB,则DG的长为( )
3×2=3,
A.
B.
C.3
D.2
【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质,即可得到EF的长,再根据梯形中位线定理,即可得到CG的长,进而得出DG的长.
【解答】解:∵E是边BC的中点,且∠BFC=90°, ∴Rt△BCF中,EF=BC=4,
∵EF∥AB,AB∥CG,E是边BC的中点, ∴F是AG的中点,
∴EF是梯形ABCG的中位线, ∴CG=2EF﹣AB=3, 又∵CD=AB=5, ∴DG=5﹣3=2, 故选:D.
9.如图,△ABC内接于⊙O,∠A=50°.E是边BC的中点,连接OE并延长,交⊙O于点D,连接BD,则∠D的大小为( )
A.55°
B.65°
C.60°
D.75°
【分析】连接CD,根据圆内接四边形的性质得到∠CDB=180°﹣∠A=130°,根据垂径定理得到OD⊥BC,求得BD=CD,根据等腰三角形的性质即可得到结论. 【解答】解:连接CD, ∵∠A=50°,
∴∠CDB=180°﹣∠A=130°, ∵E是边BC的中点, ∴OD⊥BC, ∴BD=CD, ∴∠ODB=∠ODC=故选:B.
BDC=65°,
10.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2﹣(m﹣1)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单位.则平移后得到的抛物线的顶点一定在( ) A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标,然后结合m的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可.
【解答】解:∵y=x2﹣(m﹣1)x+m=(x﹣∴该抛物线顶点坐标是(
,m﹣
),
,m﹣
﹣3),
)2+m﹣
,
∴将其沿y轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是(∵m>1,
∴m﹣1>0, ∴∵m﹣∴点(故选:D.
二.填空题(共4小题) 11.计算:(2+
)(2﹣
)= 1 .
)2,再利用二次根式的性质化简,
>0,
﹣3=,m﹣
=
﹣3)在第四象限;
=﹣
﹣1<0,
【分析】先利用平方差公式展开得到原式=22﹣(然后进行减法运算. 【解答】解:原式=22﹣(=4﹣3 =1.
)2
12.如图,在正五边形ABCDE中,DM是边CD的延长线,连接BD,则∠BDM的度数是 144° .
【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°,求得每个内角的度数为108°,再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答. 【解答】解:因为五边形ABCDE是正五边形, 所以∠C=所以∠BDC=
=108°,BC=DC, =36°,
所以∠BDM=180°﹣36°=144°, 故答案为:144°.
13.在平面直角坐标系中,点A(﹣2,1),B(3,2),C(﹣6,m)分别在三个不同的象限.若反比例函数y=(k≠0)的图象经过其中两点,则m的值为 ﹣1 . 【分析】根据已知条件得到点A(﹣2,1)在第三象限,求得点C(﹣6,m)一定在第
三象限,由于反比例函数y=(k≠0)的图象经过其中两点,于是得到反比例函数y=(k≠0)的图象经过B(3,2),C(﹣6,m),于是得到结论.
【解答】解:∵点A(﹣2,1),B(3,2),C(﹣6,m)分别在三个不同的象限,点A(﹣2,1)在第二象限,
∴点C(﹣6,m)一定在第三象限,
∵B(3,2)在第一象限,反比例函数y=(k≠0)的图象经过其中两点, ∴反比例函数y=(k≠0)的图象经过B(3,2),C(﹣6,m), ∴3×2=﹣6m, ∴m=﹣1, 故答案为:﹣1.
14.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,点E在边AD上,且AE=2.若直线l经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF的长为 2
.
【分析】过点A和点E作AG⊥BC,EH⊥BC于点G和H,可得矩形AGHE,再根据菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,可得BG=3,AG=3﹣HC=2﹣1=1,进而根据勾股定理可得EF的长.
【解答】解:如图,过点A和点E作AG⊥BC,EH⊥BC于点G和H, 得矩形AGHE, ∴GH=AE=2,
=EH,由题意可得,FH=FC
∵在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°, ∴BG=3,AG=3
=EH,
∴HC=BC﹣BG﹣GH=6﹣3﹣2=1, ∵EF平分菱形面积,
∴FC=AE=2,
∴FH=FC﹣HC=2﹣1=1, 在Rt△EFH中,根据勾股定理,得 EF=故答案为:2
=.
=2
.
三.解答题(共11小题) 15.解不等式组:
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集,找出两解集的方法部分即可. 【解答】解:由①得:x>2, 由②得:x<3,
则不等式组的解集为2<x<3. 16.解分式方程:
﹣
=1. ,
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解. 【解答】解:方程
﹣
=1,
去分母得:x2﹣4x+4﹣3x=x2﹣2x, 解得:x=,
经检验x=是分式方程的解.
17.如图,已知△ABC,AC>AB,∠C=45°.请用尺规作图法,在AC边上求作一点P,使∠PBC=45°.(保留作图痕迹.不写作法)
【分析】根据尺规作图法,作一个角等于已知角,在AC边上求作一点P,使∠PBC=45°即可.
【解答】解:如图,点P即为所求.
18.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C.E是边BC上一点,且DE=DC.求证:AD=BE.
【分析】根据等边对等角的性质求出∠DEC=∠C,在由∠B=∠C得∠DEC=∠B,所以AB∥DE,得出四边形ABCD是平行四边形,进而得出结论. 【解答】证明:∵DE=DC, ∴∠DEC=∠C. ∵∠B=∠C, ∴∠B=∠DEC, ∴AB∥DE, ∵AD∥BC,
∴四边形ABED是平行四边形. ∴AD=BE.
19.王大伯承包了一个鱼塘,投放了2000条某种鱼苗,经过一段时间的精心喂养,存活率大致达到了90%.他近期想出售鱼塘里的这种鱼.为了估计鱼塘里这种鱼的总质量,王大伯随机捕捞了20条鱼,分别称得其质量后放回鱼塘.现将这20条鱼的质量作为样本,统计结果如图所示:
(1)这20条鱼质量的中位数是 1.45kg ,众数是 1.5kg . (2)求这20条鱼质量的平均数;
(3)经了解,近期市场上这种鱼的售价为每千克18元,请利用这个样本的平均数.估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元?
【分析】(1)根据中位数和众数的定义求解可得; (2)利用加权平均数的定义求解可得;
(3)用单价乘以(2)中所得平均数,再乘以存活的数量,从而得出答案.
【解答】解:(1)∵这20条鱼质量的中位数是第10、11个数据的平均数,且第10、11个数据分别为1.4、1.5, ∴这20条鱼质量的中位数是故答案为:1.45kg,1.5kg. (2)=
∴这20条鱼质量的平均数为1.45kg;
(3)18×1.45×2000×90%=46980(元),
答:估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入46980元.
20.如图所示,小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元,他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN.他俩在小明家的窗台B处,测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数,由于楼下植物的遮挡,不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数.于是,他俩上楼来到小华家,在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数,竟然发现∠1与∠2恰好相等.已知A,B,C三点共线,CA⊥AM,NM⊥AM,AB=31m,BC=18m,试求商业大厦的高MN.
=1.45(kg),
=1.45(kg),众数是1.5kg,
【分析】过点C作CE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F,可得四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形,可以证明△BFN≌△CEM,得NF=EM=49,进而可得商业大厦的高MN.
【解答】解:如图,过点C作CE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F,
∴∠CEF=∠BFE=90°, ∵CA⊥AM,NM⊥AM,
∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形, ∴CE=BF,ME=AC, ∠1=∠2,
∴△BFN≌△CEM(ASA), ∴NF=EM=31+18=49, 由矩形性质可知:EF=CB=18,
∴MN=NF+EM﹣EF=49+49﹣18=80(m). 答:商业大厦的高MN为80m.
21.某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术.这种瓜苗早期在农科所的温室中生长,长到大约20cm时,移至该村的大棚内,沿插杆继续向上生长.研究表明,60天内,这种瓜苗生长的高度y(cm)与生长时间x(天)之间的关系大致如图所示. (1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当这种瓜苗长到大约80cm时,开始开花结果,试求这种瓜苗移至大棚后.继续生长大约多少天,开始开花结果?
【分析】(1)分段函数,利用待定系数法解答即可; (2)利用(1)的结论,把y=80代入求出x的值即可解答. 【解答】解:(1)当0≤x≤15时,设y=kx(k≠0), 则:20=15k, 解得k=, ∴y=
;
当15<x≤60时,设y=k′x+b(k≠0), 则:
,
解得,
∴y=,
∴;
(2)当y=80时,80=33﹣15=18(天),
∴这种瓜苗移至大棚后.继续生长大约18天,开始开花结果.
22.小亮和小丽进行摸球试验.他们在一个不透明的空布袋内,放入两个红球,一个白球和一个黄球,共四个小球.这些小球除颜色外其它都相同.试验规则:先将布袋内的小球摇匀,再从中随机摸出一个小球,记下颜色后放回,称为摸球一次.
(1)小亮随机摸球10次,其中6次摸出的是红球,求这10次中摸出红球的频率;
,解得x=33,
(2)若小丽随机摸球两次,请利用画树状图或列表的方法,求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率.
【分析】(1)由频率定义即可得出答案;
(2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的情况,利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:(1)小亮随机摸球10次,其中6次摸出的是红球,这10次中摸出红球的频率=
=;
(2)画树状图得:
∵共有16种等可能的结果,两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况, ∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率=
=.
23.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠BAC=75°,∠ABC=45°.连接AO并延长,交⊙O于点D,连接BD.过点C作⊙O的切线,与BA的延长线相交于点E. (1)求证:AD∥EC;
(2)若AB=12,求线段EC的长.
【分析】(1)连接OC,由切线的性质可得∠OCE=90°,由圆周角定理可得∠AOC=90°,可得结论;
(2)过点A作AF⊥EC交EC于F,由锐角三角函数可求AD=8
,可证四边形OAFC
是正方形,可得CF=AF=4,由锐角三角函数可求EF=12,即可求解.
【解答】证明:(1)连接OC,
∵CE与⊙O相切于点C, ∴∠OCE=90°, ∵∠ABC=45°, ∴∠AOC=90°,
∵∠AOC+∠OCE=180°, ∴∴AD∥EC
(2)如图,过点A作AF⊥EC交EC于F,
∵∠BAC=75°,∠ABC=45°, ∴∠ACB=60°, ∴∠D=∠ACB=60°, ∴sin∠ADB=
,
∴AD=∴OA=OC=4
=8,
,
∵AF⊥EC,∠OCE=90°,∠AOC=90°, ∴四边形OAFC是矩形, 又∵OA=OC,
∴四边形OAFC是正方形, ∴CF=AF=4
,
∵∠BAD=90°﹣∠D=30°, ∴∠EAF=180°﹣90°﹣30°=60°, ∵tan∠EAF=∴EF=
AF=12,
. ,
∴CE=CF+EF=12+4
24.如图,抛物线y=x2+bx+c经过点(3,12)和(﹣2,﹣3),与两坐标轴的交点分别为A,B,C,它的对称轴为直线l. (1)求该抛物线的表达式;
(2)P是该抛物线上的点,过点P作l的垂线,垂足为D,E是l上的点.要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等,求满足条件的点P,点E的坐标.
【分析】(1)将点(3,12)和(﹣2,﹣3)代入抛物线表达式,即可求解;
(2)由题意得:PD=DE=3时,以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等,分点P在抛物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况,分别求解即可. 【解答】解:(1)将点(3,12)和(﹣2,﹣3)代入抛物线表达式得
,解
得,
故抛物线的表达式为:y=x2+2x﹣3;
(2)抛物线的对称轴为x=﹣1,令y=0,则x=﹣3或1,令x=0,则y=﹣3, 故点A、B的坐标分别为(﹣3,0)、(1,0);点C(0,﹣3), 故OA=OC=3,
∵∠PDE=∠AOC=90°,
∴当PD=DE=3时,以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等,
设点P(m,n),当点P在抛物线对称轴右侧时,m﹣(﹣1)=3,解得:m=2, 故n=22+2×2﹣5=5,故点P(2,5), 故点E(﹣1,2)或(﹣1,8);
当点P在抛物线对称轴的左侧时,由抛物线的对称性可得,点P(﹣4,5),此时点E坐标同上,
综上,点P的坐标为(2,5)或(﹣4,5);点E的坐标为(﹣1,2)或(﹣1,8). 25.问题提出
(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC,DF⊥BC.垂足分别为E,F,则图1中与线段CE相等的线段是 CF、DE、DF . 问题探究
(2)如图2,AB是半圆O的直径,AB=8.P是
上一点,且
=2
,连接AP,BP.∠
APB的平分线交AB于点C,过点C分别作CE⊥AP,CF⊥BP,垂足分别为E,F,求线段CF的长. 问题解决
(3)如图3,是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知⊙O的直径AB=70m,点C在⊙O上,且CA=CB.P为AB上一点,连接CP并延长,交⊙O于点D.连接AD,BD.过点P分别作PE⊥AD,PF⊥BD,重足分别为E,F.按设计要求,四边形PEDF内部为室内活动区,阴影部分是户外活动区,圆内其余部分为绿化区.设AP的长为(xm),阴影部分的面积为y(m2). ①求y与x之间的函数关系式;
②按照“少儿活动中心”的设计要求,发现当AP的长度为30m时,整体布局比较合理.试求当AP=30m时.室内活动区(四边形PEDF)的面积.
【分析】(1)证明四边形CEDF是正方形,即可得出结果; (2)连接OP,由AB是半圆O的直径,
=2
,得出∠APB=90°,∠AOP=60°,
则∠ABP=30°,同(1)得四边形PECF是正方形,得PF=CF,在Rt△APB中,PB=AB?cos∠ABP=4即可得出结果;
(3)①同(1)得四边形DEPF是正方形,得出PE=PF,∠APE+∠BPF=90°,∠PEA=∠PFB=90°,将△APE绕点P逆时针旋转90°,得到△A′PF,PA′=PA,则A′、F、B三点共线,∠APE=∠A′PF,证∠A′PB=90°,得出S△PAE+S△PBF=S△PA′B=PA′?PB=x(70﹣x),在Rt△ACB中,AC=BC=35y=S△PA′B+S△ACB,即可得出结果;
②当AP=30时,A′P=30,PB=40,在Rt△A′PB中,由勾股定理得A′B=
=50,由S△A′PB=A′B?PF=PB?A′P,求PF,即可得出结果.
【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,DE⊥AC,DF⊥BC, ∴四边形CEDF是矩形,
∵CD平分∠ACB,DE⊥AC,DF⊥BC, ∴DE=DF,
∴四边形CEDF是正方形, ∴CE=CF=DE=DF, 故答案为:CF、DE、DF; (2)连接OP,如图2所示:
,S△ACB=AC2=1225,由
,在Rt△CFB中,BF=
=
CF,推出PB=CF+BF,
∵AB是半圆O的直径,=2,
∴∠APB=90°,∠AOP=×180°=60°, ∴∠ABP=30°,
同(1)得:四边形PECF是正方形, ∴PF=CF,
在Rt△APB中,PB=AB?cos∠ABP=8×cos30°=8×在Rt△CFB中,BF=
=
=
=
=4CF,
,
∵PB=PF+BF, ∴PB=CF+BF, 即:4
=CF+
CF, ;
解得:CF=6﹣2
(3)①∵AB为⊙O的直径, ∴∠ACB=∠ADB=90°, ∵CA=CB, ∴∠ADC=∠BDC,
同(1)得:四边形DEPF是正方形,
∴PE=PF,∠APE+∠BPF=90°,∠PEA=∠PFB=90°,
∴将△APE绕点P逆时针旋转90°,得到△A′PF,PA′=PA,如图3所示: 则A′、F、B三点共线,∠APE=∠A′PF, ∴∠A′PF+∠BPF=90°,即∠A′PB=90°, ∴S△PAE+S△PBF=S△PA′B=PA′?PB=x(70﹣x), 在Rt△ACB中,AC=BC=∴S△ACB=AC2=×(35
AB=
×70=35
,
)2=1225,
∴y=S△PA′B+S△ACB=x(70﹣x)+1225=﹣x2+35x+1225; ②当AP=30时,A′P=30,PB=AB﹣AP=70﹣30=40, 在Rt△A′PB中,由勾股定理得:A′B=
=
=50,
∵S△A′PB=A′B?PF=PB?A′P, ∴×50×PF=×40×30, 解得:PF=24,
∴S四边形PEDF=PF2=242=576(m2),
∴当AP=30m时.室内活动区(四边形PEDF)的面积为576m2.
陕西省2020年中考数学试题(解析版)
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