2024年陕西省中考数学试卷
一．选择题（共10小题） 1．﹣18的相反数是（ ） A．18
B．﹣18
C．
D．﹣
2．若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（ ） A．57°
B．67°
C．77°
D．157°
3．2024年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为（ ） A．9.9087×105
B．9.9087×104
C．99.087×104
D．99.087×103
4．如图，是A市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（ ）
A．4℃
B．8℃
C．12℃
D．16℃
5．计算：（﹣x2y）3＝（ ） A．﹣2x6y3
B．
x6y3
C．﹣
x6y3
D．﹣
x5y4
6．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ） A．2
B．3
C．4
D．6
8．如图，在?ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是?ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（ ）
A．
B．
C．3
D．2
9．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）
A．55°
B．65°
C．60°
D．75°
10．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
二．填空题（共4小题） 11．计算：（2+
）（2﹣
）＝ ．
12．如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是 ．
13．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为 ． 14．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为 ．
三．解答题（共11小题） 15．解不等式组：
16．解分式方程：﹣＝1．
17．如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．
19．王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：
（1）这20条鱼质量的中位数是 ，众数是 ． （2）求这20条鱼质量的平均数；
（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？
20．如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．
21．某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？
22．小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和
一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．
（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率； （2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．
23．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E． （1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝12，求线段EC的长．
24．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． （1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．
25．问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 ． 问题探究
（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是
上一点，且
＝2
，连接AP，BP．∠
APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长． 问题解决
（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为（xm），阴影部分的面积为y（m2）． ①求y与x之间的函数关系式；
②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．
2024年陕西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题） 1．﹣18的相反数是（ ） A．18
B．﹣18
C．
D．﹣
【分析】直接利用相反数的定义得出答案． 【解答】解：﹣18的相反数是：18． 故选：A．
2．若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（ ） A．57°
B．67°
C．77°
D．157°
【分析】根据∠A的余角是90°﹣∠A，代入求出即可． 【解答】解：∵∠A＝23°， ∴∠A的余角是90°﹣23°＝67°． 故选：B．
3．2024年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为（ ） A．9.9087×105
B．9.9087×104
C．99.087×104
D．99.087×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：990870＝9.9087×105， 故选：A．
4．如图，是A市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（ ）
A．4℃ B．8℃ C．12℃ D．16℃
【分析】根据A市某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案． 【解答】解：从折线统计图中可以看出，这一天中最高气温8℃，最低气温是﹣4℃，这一天中最高气温与最低气温的差为12℃， 故选：C．
5．计算：（﹣x2y）3＝（ ） A．﹣2x6y3
B．
x6y3
C．﹣
x6y3
D．﹣
x5y4
【分析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积． 【解答】解：（﹣x2y）3＝故选：C．
6．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
＝
．
A．
B．
C．
D．
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：由勾股定理得：AC＝∵S△ABC＝3×3﹣∴∴∴BD＝故选：D．
7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）
， ， ，
＝
， ＝3.5，
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】根据方程或方程组得到A（﹣3，0），B（﹣1，2），根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3， 解
得，
，
∴A（﹣3，0），B（﹣1，2）， ∴△AOB的面积＝故选：B．
8．如图，在?ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是?ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（ ）
3×2＝3，
A．
B．
C．3
D．2
【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据梯形中位线定理，即可得到CG的长，进而得出DG的长．
【解答】解：∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°， ∴Rt△BCF中，EF＝BC＝4，
∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点， ∴F是AG的中点，
∴EF是梯形ABCG的中位线， ∴CG＝2EF﹣AB＝3， 又∵CD＝AB＝5， ∴DG＝5﹣3＝2， 故选：D．
9．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）
A．55°
B．65°
C．60°
D．75°
【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：连接CD， ∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°， ∵E是边BC的中点， ∴OD⊥BC， ∴BD＝CD， ∴∠ODB＝∠ODC＝故选：B．
BDC＝65°，
10．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合m的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣（m﹣1）x+m＝（x﹣∴该抛物线顶点坐标是（
，m﹣
），
，m﹣
﹣3），
）2+m﹣
，
∴将其沿y轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（∵m＞1，
∴m﹣1＞0， ∴∵m﹣∴点（故选：D．
二．填空题（共4小题） 11．计算：（2+
）（2﹣
）＝ 1 ．
）2，再利用二次根式的性质化简，
＞0，
﹣3＝，m﹣
＝
﹣3）在第四象限；
＝﹣
﹣1＜0，
【分析】先利用平方差公式展开得到原式＝22﹣（然后进行减法运算． 【解答】解：原式＝22﹣（＝4﹣3 ＝1．
）2
12．如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是 144° ．
【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答． 【解答】解：因为五边形ABCDE是正五边形， 所以∠C＝所以∠BDC＝
＝108°，BC＝DC， ＝36°，
所以∠BDM＝180°﹣36°＝144°， 故答案为：144°．
13．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为 ﹣1 ． 【分析】根据已知条件得到点A（﹣2，1）在第三象限，求得点C（﹣6，m）一定在第
三象限，由于反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，于是得到反比例函数y＝（k≠0）的图象经过B（3，2），C（﹣6，m），于是得到结论．
【解答】解：∵点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限，点A（﹣2，1）在第二象限，
∴点C（﹣6，m）一定在第三象限，
∵B（3，2）在第一象限，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点， ∴反比例函数y＝（k≠0）的图象经过B（3，2），C（﹣6，m）， ∴3×2＝﹣6m， ∴m＝﹣1， 故答案为：﹣1．
14．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为 2
．
【分析】过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝3﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得EF的长．
【解答】解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H， 得矩形AGHE， ∴GH＝AE＝2，
＝EH，由题意可得，FH＝FC
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°， ∴BG＝3，AG＝3
＝EH，
∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1， ∵EF平分菱形面积，
∴FC＝AE＝2，
∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1， 在Rt△EFH中，根据勾股定理，得 EF＝故答案为：2
＝．
＝2
．
三．解答题（共11小题） 15．解不等式组：
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可． 【解答】解：由①得：x＞2， 由②得：x＜3，
则不等式组的解集为2＜x＜3． 16．解分式方程：
﹣
＝1． ，
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：方程
﹣
＝1，
去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x， 解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
17．如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°即可．
【解答】解：如图，点P即为所求．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．
【分析】根据等边对等角的性质求出∠DEC＝∠C，在由∠B＝∠C得∠DEC＝∠B，所以AB∥DE，得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出结论． 【解答】证明：∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠C． ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠DEC， ∴AB∥DE， ∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形． ∴AD＝BE．
19．王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：
（1）这20条鱼质量的中位数是 1.45kg ，众数是 1.5kg ． （2）求这20条鱼质量的平均数；
（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解可得； （2）利用加权平均数的定义求解可得；
（3）用单价乘以（2）中所得平均数，再乘以存活的数量，从而得出答案．
【解答】解：（1）∵这20条鱼质量的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10、11个数据分别为1.4、1.5， ∴这20条鱼质量的中位数是故答案为：1.45kg，1.5kg． （2）＝
∴这20条鱼质量的平均数为1.45kg；
（3）18×1.45×2000×90%＝46980（元），
答：估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入46980元．
20．如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．
＝1.45（kg），
＝1.45（kg），众数是1.5kg，
【分析】过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，可得四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，可以证明△BFN≌△CEM，得NF＝EM＝49，进而可得商业大厦的高MN．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，
∴∠CEF＝∠BFE＝90°， ∵CA⊥AM，NM⊥AM，
∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形， ∴CE＝BF，ME＝AC， ∠1＝∠2，
∴△BFN≌△CEM（ASA）， ∴NF＝EM＝31+18＝49， 由矩形性质可知：EF＝CB＝18，
∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）． 答：商业大厦的高MN为80m．
21．某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？
【分析】（1）分段函数，利用待定系数法解答即可； （2）利用（1）的结论，把y＝80代入求出x的值即可解答． 【解答】解：（1）当0≤x≤15时，设y＝kx（k≠0）， 则：20＝15k， 解得k＝， ∴y＝
；
当15＜x≤60时，设y＝k′x+b（k≠0）， 则：
，
解得，
∴y＝，
∴；
（2）当y＝80时，80＝33﹣15＝18（天），
∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．
22．小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．
（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；
，解得x＝33，
（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．
【分析】（1）由频率定义即可得出答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的情况，利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，这10次中摸出红球的频率＝
＝；
（2）画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况， ∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率＝
＝．
23．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E． （1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝12，求线段EC的长．
【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝8
，可证四边形OAFC
是正方形，可得CF＝AF＝4，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解．
【解答】证明：（1）连接OC，
∵CE与⊙O相切于点C， ∴∠OCE＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠AOC＝90°，
∵∠AOC+∠OCE＝180°， ∴∴AD∥EC
（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，
∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝60°， ∴∠D＝∠ACB＝60°， ∴sin∠ADB＝
，
∴AD＝∴OA＝OC＝4
＝8，
，
∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°， ∴四边形OAFC是矩形， 又∵OA＝OC，
∴四边形OAFC是正方形， ∴CF＝AF＝4
，
∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°， ∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∵tan∠EAF＝∴EF＝
AF＝12，
． ，
∴CE＝CF+EF＝12+4
24．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． （1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．
【分析】（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由题意得：PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，分点P在抛物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得
，解
得，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3， 故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3）， 故OA＝OC＝3，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，
设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2， 故n＝22+2×2﹣5＝5，故点P（2，5）， 故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）；
当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐标同上，
综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）． 25．问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 CF、DE、DF ． 问题探究
（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是
上一点，且
＝2
，连接AP，BP．∠
APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长． 问题解决
（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为（xm），阴影部分的面积为y（m2）． ①求y与x之间的函数关系式；
②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．
【分析】（1）证明四边形CEDF是正方形，即可得出结果； （2）连接OP，由AB是半圆O的直径，
＝2
，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，
则∠ABP＝30°，同（1）得四边形PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB?cos∠ABP＝4即可得出结果；
（3）①同（1）得四边形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，证∠A′PB＝90°，得出S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′?PB＝x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝35y＝S△PA′B+S△ACB，即可得出结果；
②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得A′B＝
＝50，由S△A′PB＝A′B?PF＝PB?A′P，求PF，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴四边形CEDF是矩形，
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DE＝DF，
∴四边形CEDF是正方形， ∴CE＝CF＝DE＝DF， 故答案为：CF、DE、DF； （2）连接OP，如图2所示：
，S△ACB＝AC2＝1225，由
，在Rt△CFB中，BF＝
＝
CF，推出PB＝CF+BF，
∵AB是半圆O的直径，＝2，
∴∠APB＝90°，∠AOP＝×180°＝60°， ∴∠ABP＝30°，
同（1）得：四边形PECF是正方形， ∴PF＝CF，
在Rt△APB中，PB＝AB?cos∠ABP＝8×cos30°＝8×在Rt△CFB中，BF＝
＝
＝
＝
＝4CF，
，
∵PB＝PF+BF， ∴PB＝CF+BF， 即：4
＝CF+
CF， ；
解得：CF＝6﹣2
（3）①∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵CA＝CB， ∴∠ADC＝∠BDC，
同（1）得：四边形DEPF是正方形，
∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，
∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示： 则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF， ∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°， ∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′?PB＝x（70﹣x）， 在Rt△ACB中，AC＝BC＝∴S△ACB＝AC2＝×（35
AB＝
×70＝35
，
）2＝1225，
∴y＝S△PA′B+S△ACB＝x（70﹣x）+1225＝﹣x2+35x+1225； ②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40， 在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝
＝
＝50，
∵S△A′PB＝A′B?PF＝PB?A′P， ∴×50×PF＝×40×30， 解得：PF＝24，
∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），
∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2．
陕西省2024年中考数学试题(解析版)
