2《概率论与数理统计》期末考试 - [B]答案 

华中农业大学本科课程期末考试试卷B卷答案

考试课程：概率论与数理统计 学年学期： 考试日期：

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一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其字母代号写在该题【 】内。答案错选或未选者，该题不得分。每小题2分，共10分。） 1. 设A和B是任意两个概率不为0的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是 【(d)】.

(a) A与B不相容； (b) A与B相容； (c) P(AB)=P(A)P(B)； (d) P(AB)=P(A)． 2. 设随机变量序列X服从N(,16), Y服从 N(,２５)，记p1=P{X<-4},

p2=P{X>+5},则下列结论正确的是 【(a) 】 .

(a)对任何实数，都有p1= p2； (b) 对任何实数，都有p1< p2； (c) 对个别实数，才有p1= p2； (d) 对任何实数，都有p1> p2.

3. 设总体X服从正态分布N(?,?2)，其中?未知，?2已知，X1,X2,X3是总体X的 一个简单随机样本，则下列表达式中不是统计量的是 【（d）】 ． （a）X1?X2?X3； （b）min(X1,X2,X3)； （c）?i?13Xi2?2； （d）X?2?．

4．在线性回归分析中，以下命题中，错误的是 【（d）】 .

（a）SSR越大，SSE越小； （b）SSE越小，回归效果越好； （c）r越大，回归效果越好； （d）r越小，SSR越大．

5．设随机变量X~F(n,m),欲使P{1

1的值可为 【（a）】 .

?1?1????（a）F?(n,m); （b）F?(m,n); （c）?F?(n,m)?;（d）?F?(m,n)?;

?2??2?22

二、填空题（将答案写在该题横线上。答案错选或未选者，该题不得分。每小题2分，共

10分。）

1. 一射手对同一目标射击4次,假设每次是否命中使相互独立的,已知至少命中一次的概率为80/81,则该射手的命中率为 2/3 .

2.设服从[,]上的均匀分布,又X=sin, Y=cos, 则X与Y的相关系数XY= 0 . 3. 数理统计的目的是通过样本推断总体.

4．在单因素方差分析中，试验因素A的r个水平的样本总容量为n，则当原假设H0成立时，

SSA?2服从 x2(r?1)分布，MSAMSE服从 F(r1, nr) 分布.

5. 在线性回归模型y??0??1x??中，如果b1为?1的最小二乘估计，则Eb1＝?1.

三、(10分，要求写清步骤及结果)证明下列命题:

1 .若P(A/B)?P(A),则P(B/A)?P(B); 2.若P(A)?P(A/B),则P(A)?P(A/B).

证明： 1. 由 P(A/B)?P(A), 得 P(AB)/P(B)?P(A), …………………(2分)

进而有P(AB)/P(A)?P(B); 即P(B/A)?P(B) .…………………(3分)

2. 1. 由 P(A)?P(A/B), 得 P(A)P(B)?P(AB), …………………(1分)

进而有?P(A)P(B)??P(AB); .…………………(2分)

两边加上P(B),得 P(A)P(B)?P(AB),即P(A)?P(A/B). ………(2分)

四、(10分，要求写清步骤及结果) 一个复杂的系统，由n个相互独立的部件所组成， 每个部件的可靠性为，且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统工作，问： n至少为多少才能使系统以的概率工作

( 附：Φ=，Φ=，其中Φ(x)是标准正态分布函数。)

解。 设 X表示n个相互独立的部件正常工作的个数，则X～B(n,，

EX=, DX=. …………………(3分)

由中心极限定理知：

X?0.9n0.01n~N(0,1). …………………(3分)

?n?0.9nX?0.9n0.8n?0.9n?则：P{n?X?0.8n}?P????

0.01n0.01n??0.01n?nX?0.9nn??P??????0.95 ………………(2分)

3?0.01n?3?n??得到： 2???3??1?0.95，n=35. …………………(2分) ??

五、(12分，要求写清步骤及结果)设总体X服从(0,)上的均匀分布，取容量为6的样本观

测值为：，，，，，，求：总体参数的矩估计以及极大似然估计值.

解： 由 EX=/2, 得矩估计：??2x?2.4 …………………(6分)

极大似然估计为：??max{xi,i?1,...,6}?2.2 …………………(6分)

六、(15分，要求写清步骤及结果) 随机抽取了甲地10户与乙地8户居民的月收入如下表:

(?

甲(元) 乙(元) 473 260 324 653 518 558 373 443 578 373 234 251 198 167 198 360 233 373 ??

?0.05).

行平均值 试问:1.两地居民的月收入方差是否有显着差异

2. 两地居民的月收入平均值是否有显着差异 ( 附：（9，7）=，（7，9）=4. 2，(16)= 解：设两地居民的月收入分别是X与Y，

22X~N(?1,?1),Y~N(?2,?1),且两者独立。

222,H1:?1??2(1) 先作方差的检验： H0:?12??2. ………………(1分)

2*2检验统计量F?S*XSY，当H0为真时，因为F~F(n?1,m?1),

所以拒绝域是：f?F0.5?(n?1,m?1)或f?F1?0.5?(n?1,m?1)， …………(4分)

计算：f?123.83275.6382?2.68, （9，7）=，…………(2分)

F0.025(9,7)?14.20?0.238, 拒绝域W1={F>}{F<}.

2没有落入拒绝域，认为?12??2。 ………………(1分) 2(2) 再检验均值：因为（1）中已经检验了?12??2，但未知方差值。

H0:?1??2,H1:?1??2，

检验统计量T?X?Y Sw1/n?1/m2?, 其中Swssx?ssyn?m?2，

当H0为真时，因为T~t(n?m?2)，

所以拒绝域是： |t|?t1?0.5?(n?m?2) ……………(5分) 计算得：t?4.07, 而(16)=， 落入拒绝域,

从而有理由认为两品种的观测值 显着性的差异。………………(2分)

七、(15分，要求写清步骤及结果) 某消防队要考察4种不同型号冒烟报警器的反应时间（单

位：秒），今将每种型号的5种报警器安装在同一条烟道中，当烟道均匀时观测报警器的反应时间，得数据如下

报警 A1(甲型) A2(乙型) A3(丙型) A4(丁型)

试问：（1）各种型号报警器的反应时间有无显着差异(=

（2）请列出方差分析表.

(3)如果各种型号报警器的反应时间有显着差异,那么何种最优

（附: =, F0.99?3,16??5.324） 解：(1)H0:各个总体的?i相同. ………………(2分)

SSA=?i反 应 时 间 Xi? T2i?niC=, SSE=SST?SSA=; F0.99?3,16??5.324，

F?F0.99?3,12?.故四种种型号报警器的反应时间有显着差异. ………………(5分)

(2) r?1?3, n?r?16. 列表：

方差来源 因素A 误差 总和 平方和 自由度 均方和 3 16 15 F值 显着性 * * ………………(5分)

?1=x1?= ，??2=x2?=，??3=x3?=， ??4=x4?=. （3）?甲型型号报警器最优. ………………(3分)

八、(18分，要求写清步骤及结果) 某种物质在不同温度下可以吸附另一种物质，如果

温度x(单位：℃)与吸附重量Y(单位：mg)的观测值如下表所示：

行和 温度xi 重量yi （1）试求线性回归方程；（2）对线性回归方程显着性检验；（3）若x0=2，求:Y0的预测

区间.

（附：t0.995(7)＝，r0.01(7)＝，F0.99(1,7)＝ ) （ 提示：预测公式t=(y0?y0)?SSE1(x0?x)2?[1??]~t(n?2)） n?2nlxx解：（1） 建模: yi??0??1xi??i~N(?0??1xi,?2).i?1,?,n.…………(1分)

?xii＝,?yi＝,x＝，y＝，?xi2＝,?xiyi＝，

iii?yii2＝，lxx=，lxy=, lyy＝，n＝9，

＝，a?y?bx＝， ……………(5分)

b?lxylxx?＝+；……………(3分) 所求的经验线性回归方程为:y（2）对H0:?1?0?H1:?1?0的检验,?=. （任选一种方法都可以）

⑴ F检验法:SST?lyy＝，

SSR?blxy＝，SSE?SST?blxy＝，n-2＝7，F0.99(1,7)＝， F?SSR＝，所以回归方程极显着；

SSE(n?2)lxxSSE(n?2)⑵t检验法：t?b＝,t0.995(7)＝,所以回归方程极显着；

⑶ r检验法：r?2l2xy＝，r＝，r0.01(7)＝，

lxxlyy所以回归方程极显着； （3）预测区间

⑴当x0=2时，Y0的点估计为?y0=； ⑵?(x0)?t1??2MSE?(1?1/n?(x0?x)2/lxx)=， Y0的预测区间为,.

…………(6分)

…………(4分)