专题16数列中的转化与化归
【考点命题趋势分析】
数列是高中数学的重要组成部分，同时也是高考重点考查的内容之一.纵观全国各地的高考试卷，数列相关的解答题大都出现在压轴题或倒数第二题的位置，承载着体现考试的区分度、选拔优秀学生的功能.从题目的综合性看，数列问题常与函数、方程、不等式等知识交汇.对近几年各地高考试卷数列解答题的研究发现，数列问题的综合性有从显性的知识点之间的交汇向隐性的方法、技能、思想融合的趋势.特别是当仅仅运用数列本身的知识解决问题比较困难时，我们可以考虑将题目的难点转化化归为其他问题来解决，运用化归和等价转化思想来帮助我们化繁为简、化难为易.
典型例题与解题方法
1两种基本数列之间的转化
等差数列和等比数列是两种最为基本的数列，它们的各种性质之间有着很强的类比性，所以它们之间存在相互转化的可能.等差数列的计算是线性的，等比数列的计算是指数性，所以当等比数列的运算很繁杂时，可以考虑将等比数列转化为等差数列来运算.
例1若公比不为1的正项等比数列{an}满足??1??2???????=2??(??+1),??∈???，数列{bn}满足bn=??1????，则{bn}的前n项和Sn为 .
2存在性问题向函数零点问题的转化与化归
因为数列是一种特殊的函数，所以它的很多问题可以通过函数的性质加以解决，诸如单调性、最值等等.近几年的高考题中呈现出一种新的考查趋势:在等差数列、等比数列的存在性问题中，利用基本量构建高次方程和函数来解决问题.
例2设??1,??2,??3,??4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列. (I)证明:2??1,2??2,2??3,2??4依次成等比数列；
234(Ⅱ)是否存在a1，d，使得??1,??2,??3,??4依次构成等比数列?并说明理由.
3恒成立问题向最值问题转化
数列中的恒成立问题有多种类型，如果是关于等式的问题，可以转化为方程组或恒等方程来解决.如果是关于不等式问题，往往可以转化为最值问题来解决.
例3已知数列{an}与{bn}满足????+1?????=2(????+1?????)，n∈N*.设??1=3??<0,????=????，求??的取值范围，使得对任意??,??∈???,????≠0，且6<4发散数列向常规数列的转化
在数列中证明有些不等式时，涉及的数列是发散的，其前n项和不能用求和公式表示出来.此时一般可以根
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????????
<6.
据题干或者上一问的提示，利用放缩法使其放大或缩小为一个能求和的常规数列来解决.在有些问题中构建何种数列并没有明确的提示，这时我们可以紧扣结论，先构造不等式然后放缩数列来解决问题 例4数列{an}满足:??1+2??2+?+??????=4?2???1,??∈??. (I)求a3的值；
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Tn (Ⅲ)令??1=??1，????=
?????1??
??+2
+(1+++?+)????(??≥2)，求证:数列{bn}的前n项和Sn满足????<2+2ln??.
23??
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最新模拟题强化训练 21．已知数列?an?的前n项和为Sn,且Sn?2n?n,n?N*,数列?bn?满足an?4log2bn?3，n?N*.
(1)求an和bn的通项公式； (2)求数列{an?bn}的前n项和Tn .
2．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1?1，Sn?1?2Sn?1（n?N*）． （1）求证：数列{an}为等比数列； （2）若数列{bn}满足：b1?1，bn?1?① 求数列{bn}的通项公式； ② 是否存在正整数n，使得
bn1?． 2an?1?b?4?n成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．
ii?1n3．已知?an?是等差数列，其前n项和为Sn，?bn?是等比数列，且a1?b1?2,a4?b4?27,S4?b4?10. （I）求数列?an?与?bn?的通项公式； （II）记Tn?a1b1?a2b2?a3b3??anbn,n?N?,求证：Tn?8?an?1bn?1,n?N*,n?2．
（考点定位）本小题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n项和公式、数列求和等基础知识.考查化归与转化的思想方法.考查运算能力、推理论证能力. 4．设等差数列?an?的前n项和为Sn，且S4?4S2，a2n?2an?1. （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）设数列?bn?的前n项和为Tn，且Tn?an?1?? (?为常数)，令cn?b2n?n?N*?，求数列?cn?的n2 2 / 9
前n项和Rn。
5．数列?an?满足a1?1,an?an?1?0.
2an?1?11（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
an（Ⅱ）若数列?bn?满足b1?2,bn?1a?2?n，求?bn?的前n项和Sn. bnan?1*6．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?2an?2,n?N. （1）求证：数列{an}为等比数列； （2）设数列{a}的前n项和为Tn，求证：
2nS2n为定值； Tn（3）判断数列3?an中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.
33327．已知数列?an?满足对任意的n?N*都有an?0，且a1?a2???an?(a1?a2???an)．
?n?（1）求数列?an?的通项公式；
?1?1（2）设数列??的前n项和为Sn，不等式Sn?loga(1?a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的
3?anan?2?取值范围．
8．已知无穷数列?an?的首项a1?（Ⅰ）证明：0?an?1； （Ⅱ） 记bn11?1?1??an??,n?N?. ，
an?2an?12?an?an?1???anan?12，Tn为数列?bn?的前n项和，证明：对任意正整数n，Tn?3. 1022Sn(n?2). 9．数列{an}首项a1?1，前n项和Sn与an之间满足an?2Sn?1（1）求证：数列{1}是等差数列；并求数列{an}的通项公式； Sn(1?Sn)?k2n?1对任意n?N+都成立，求k的最大值.
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（2）设存在正数k，使(1?S1)(1?S2)
2021届新高考数学二轮复习微专题核心考点突破16数列中的转化与化归(原卷版)
