1981年-2024年全国高中数学联赛试题分类汇编：
解析几何
（解析版）
2024A 4、设A,B为椭圆
的长轴顶点，E,F为
的两个焦点，AB?4,
满足PE?PF?2，则?PEF的面积为 ． AF?2?3, P为上一点，答案：1 解析：设椭圆
x2y2的方程为2?2?1（a?b?0），则2a?4,a?a2?b2?2?3，
ab可知a?2,b?1，EF?23,所以PE?PF?4，又PE?PF?2， 所以PE?PF??PE?PF22?2?2PE?PF?12?EF，即?EPF为直角，进而
2?PEF得面积为
1PE?PF?1。 22024A 10、在平面直角坐标系xoy中，圆?与抛物线?:y2?4x恰有一个公共点，且圆?与x轴相切于?的焦点F．求圆?的半径． 解析：易知?的焦点F的坐标为?1,0?．设圆?
的半径为r(r?0) ．由对称性，
22不妨设?在x轴上方与x轴相切于F，故?的方程为?x?1???y?r??r2①，将
?y2?2y?4x代入消去x得??1??y2?2ry?0，显然y?0，所以
?4?2??y2?4?1??y2?② r????1??y2??2y??432y????22由于圆?与x轴相切于?的焦点F．则②恰有一个正数解，由于
r??y2?4?232y?2444??y????23443333?当且仅当y2?，即y?时取等号，接???3332y92?23??23?下来，当y??及时，r?0,,?????????3??3??r?43符合。 9?y2?4?32y2产生不唯一解，所以仅有
2024B 7. 在平面直角坐标系中，若以?r?1,0?为圆心、r为半径的圆上存在一点
?a,b?满足b2?4a，则r的最小值为 ．
答案： 4
解析：由条件知?a?r?1??b2?r2，故4a?b2?r2??a?r?1??2r?a?1???a?1?， 即a2?2?r?1?a?2r?1?0有解，所以????2?r?1????4?2r?1??4r?r?4??0，解得r?4。
经检验，当r?4时，a?3,b?23时满足条件，所以r的最小值为4。
2024B 9. （本题满分16分）在椭圆?中， F为一个焦点，AB为两个顶点．若
2222AF?3,BF?2，求AB的所有可能的值。
x2y2解析：不妨设平面直角坐标系中椭圆?的标准方程为2?2?1（a?b?0），并
ab记c?a2?b2．由对称性，可设F为?的右焦点．知F到椭圆?的左顶点的距离为a?c，到椭圆?的右顶点的距离为a?c，到上下顶点的距离均为a， ⑴A,B分别为左、右顶点．此时a?c?3,a?c?2，故AB?2a?5；
⑵A为左顶点，B为上顶点或下顶点．此时a?c?3,a?2，c?1,b2?3，故
AB?a2?b2?7；⑶A为上顶点或下顶点，B为右顶点．此时a?3,a?c?2，
c?1,b2?8，故AB?a2?b2?17；
综上AB的所有可能的值为5,7,17。
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