2.1函数及其表示
考情分析
1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法． 2．考查分段函数的简单应用．
3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查． 基础知识
1．函数的基本概念
1.符号f:A?B表示集合A到集合B的一个映射，它有以下特点： (1)对应法则有方向性, f:A?B与f:B?A不同;
(2)集合A中任何一个元素,在f下在集合B中都有唯一的元素与对应; (3)象不一定有原象,象集C与B间关系是C?B.
2.函数是特殊的映射,它特殊在要求集合A和B都是非空数集. 函数三要素是指定义域、值域、对应法则.
同一函数必须满足:定义域相同、对应法则相同.
3.分段函数是指函数由n个不同部分组成,但是一个函数. 4.函数解析式求法:
(1)已知函数类型,可设参,用待定系数法；（2）已知复合函数f[(g(x)]的表达式，求f(x)可用换元法；（3）配凑法与方程组法. 注意事项
1.求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法：
①若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得a＜q(x)＜b即可求出y＝f(q(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域． 2.。(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域． (2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．
3.。函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f：A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f. 典型例题
题型一 求函数的定义域 【例1】?求下列函数的定义域： |x－2|－1(1)f(x)＝；
log2x－1
5
(2)f(x)＝
ln
x＋1
. 2
－x－3x＋4
|x－2|－1≥0，??
解 (1)要使函数f(x)有意义，必须且只须?x－1>0，
??x－1≠1.
解不等式组得x≥3，因此函数f(x)的定义域为[3，＋∞)．
??x＋1>0，
(2)要使函数有意义，必须且只须?2
?－x－3x＋4>0，???x>－1，
即?
?x＋4?
x－1<0，
解得：－1 因此f(x)的定义域为(－1,1)． y?【变式1】下列函数中,与函数 1x有相同定义域的是( ) A. f(x)?log2x B. f(x)?1xx C.f(x)?|x| D.f(x)?2 【答案】A 【解析】选项A的定义域为(0,??)，与原题相同；而选项B中的x可以为负数，选项C、D的定义域都为R，故选A. 题型二 求函数的解析式 ?2?【例2】(1)已知f?＋1?＝lg x，求f(x)； ?x? (2)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式． 22 解 (1)令t＝＋1，则x＝， xt－1∴f(t)＝lg 22，即f(x)＝lg . t－1x－1 (2)x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．① 以－x代x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．② 由①②消去f(－x)得 f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)． 【变式2】 (1)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的表达式． 1 (2)已知f(x)＋2f()＝2x＋1，求f(x)． 2313 x 5 解 (1)由题意可设f(x)＝ax＋bx(a≠0)，则 2 a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1 ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1 ??2a＋b＝b＋1，∴? ?a＋b＝1，? 11 解得a＝，b＝. 22 121 因此f(x)＝x＋x. 22 ?1?fx＋2f??＝2x＋1，???x? (2)由已知得? ?1?＋2fx＝2＋1，f????x?x? 4＋x－2x得f(x)＝. 3x题型三 分段函数 2 ?1?消去f??， ?x? ??2，x≤1， 【例3】设函数f(x)＝? ?1－log2x，x＞1，? 1－x 则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )． A．[－1,2] B．[0,2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞) ??x≤1， 解析 f(x)≤2??1－x?2≤2? ??x＞1， 或? ?1－log2x≤2? ?0≤x≤1或x＞1，故选D. 答案 D ?2x＋a，x＜1，? 【变式3】已知实数a≠0，函数f(x)＝? ??－x－2a，x≥1. 若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的 值为________． 解析 分类讨论： (1)当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1. 这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a； f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a. 由f(1－a)＝f(1＋a)，得2－a＝－1－3a， 3 解得a＝－， 2不符合题意，舍去． (2)当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1， 这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a； f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a， 5
(全面突破)高考数学最新一轮复习 必考题型巩固提升 2.1函数及其表示学案
