(1)
(2)
19.将函数 展开成傅里叶级数.
是周期为
的周期函数,它在
上的表达式为
20.设
将 展开成傅里叶级数.
展开成正弦函数
21.将函数
22.将函数 分别展开成正弦技术和余弦级数
23.将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式) (1)
(2)
(3)
24.将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数
(1)
(2) 25.设 试将 26．设
上的表达式为
,
是周期为2的周期函数,它在 展开成复数形式的傅里叶级数. 是周期为
的周期函数,已知它的傅里叶级数的复数形式为
试写出的傅里叶级数的实数形式(即三角形
式)
四、 证明题
1．三角形的三条 垂线交于一点。（提示：用向量方法） 2．设其中z1?zx?x?yf(x2?y),f2是导数存在的一元函数，证明函数z满足方程
?1?zy?y??zy2。
3．证明limx?yx?y不存在。
x?0y?04．设u?1r,r?x2?y2?z,证明
2?u?x22??u?y22??u?z22?0.
5．证明：曲面xyz?1的任一切平面与坐标面形成的四面体体积为常数。
6．设
1?2222(x?y)sin,x?y?0?22x?yf(x,y)??22?0,x?y?0?f(x,y)在原点（0，0）偏导数存在，
证明：但不连续。
7．证明不等式
1???(siny?cosx)dxdy?D2222,其中D:正方形域：0?x?1,0?y?1。
8．证明曲线积分I??(x?2xy)dx?(x2?y)dy4与路径无关，其中L是由点
L（0，0） 到（1，1）的曲线y?sin?2x，并计算I的值。
??29．若级数?n?1an(an?0)收敛，证明?n?1?2an收敛。
??210. 已知级数?n?1an和?n?1bn都收敛，证明级数?n?1anbn绝对收敛。
五、 应用题
1． 求曲线x?t,y??t,z?t与平面x?2y?z?4平行的切线。
?x?y?z?1?0?2x?y?3z?4?0232． 用对称式方程及参数方程表示直线?z
3． 曲面z?e?2xy?3在点（1，2，0）处的切平面方程和法线方程。
224． 求曲面z?x?y及z?x?y所围成的立体的体积。
222225． 求由曲面x?y?z?a及x?y?ax所围成图形的体积。
22226．求位于两圆x?(y?2)?4和x?(y?1)?1之间的均匀薄片的重心位置。 7．试分解已知正数a为三个正数之和，而使它们的倒数之积最小。 8．在第一卦限内作椭球小，求切点的坐标。
9．设生产某种产品必须投放入两种要素，x1 和x2分别为两要素的投入量，Q为产出量，
ab若生产函数Q?2x1x2，其中a,b为正常数，且a?b?1,假设两种要素的价格分别为
2222xa22?yb22?zc22?1的切平面，使得切平面与三坐标面围成的体积最
p1,p2,试问，当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小。
10．某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p1,p2，销售量分别为q1,q2,需求函数及总成本函数分别为q1?24?0.2p1,q2?10?0.05p2,C?35?40(q1?q2)，试问厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少？
?11．求级数?n?1n2n的和。
12．计算积分?1ex0.1xdx的近似值。
13．将函数f(x)?xx2?x?2展开x的幂级数。
14．设有一个无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为0.1cm,内高为20cm，内半径为4cm,
求容器外壳体积的近似值。 15．设曲线积分?xydx?y?(x)dy与路径无关，其中?(x)具有连续的导数，且?(0)?0，
L2计算??1，1??0,0?xydx?y??x?dy。
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高数下册试题库
