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咼考数学易错题举例解析
高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也 就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望 能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。
?忽视等价性变形，导致错误。
x + y>0
x>0 x>1 x + y>3 xy>0但 与 不等价。 y>0 y>2 xy >2
，
- ，若 【例1】已知f(x) x =ax + b3 f(1) 0, 3 f (2) 6,求f (3)的范围。
3 a
错误解法
由条件得
b 0
b
①
3 2a
2 6
②
②X 2 —① 6 a
①X 2—②得
15
③
8 b 2
④
③+④得
3 3 3 10 b 43 10
即 3a —f(3)
3 3 3 3
J
43 3 b
f(x) ax -，其值是同时
错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数 受a和b制约的。当a取最大(小)值时，
b不一定取最大(小)值，因而整个解题思路是错误的。
正确解法 由题意有
f⑴ a b
b 解得：
f(2) 2a - 、2
j[2f(1)
b 16 5
f(2) -f (1).
3 9 9 f (1)], b
1
a §[2f(2) f (3) 3a
f(2)],
16
把f (1)和f (2)的范围代入得一f (3)
3
37 3
在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基 础知识，才能反思性地看问题。
?忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】
2 2 2
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⑴设、 是方程x 2kx k 6
0的两个实根，则(1)
十亠亠
( 1)的最小值是
49
(A)
4
(B) 8
(C) 18
(D)不存在
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思路分析本例只有一个答案正确，设了 利用一元二次方程根与系数的关系易得:
3个陷阱，很容易上当。 2k,
2
k 6,
(1)2 ( 1)2 2
( 4(k
)2
2 2( 49
49
有的学生一看到
，常受选择答案(
4
A)的诱惑，盲从附和。
这正是思维缺乏反思性的体现。如果
能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。
原方程有两个实根 当k 3时，(1)
2
4k2
(1)的最小值是8;
4( k 6) 0 k 2 或 k 3.
2 时，(1)
2
2
( 1)的最小值是18。
这时就可以作出正确选择, 只有( B)正确。
⑵ 已知(x+2) 2+ * =1,求x2+y2的取值范围。
错解 由已知得 y = — 4x— 16x — 12，因此 x+y= — 3x — 16x — 12= — 3(x+ )+
2
2
2
2
2
8 3
2
28
3
8 28 28 ???当x= — 3时，x2+y2有最大值\，即x2+y2的取值范围是(—8 , ~3\］。
分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。 v2
事实上，由于(x+2) 2+ 4 =1
V2
(x+2) 2=1 — 4 W 1
— 3< XW— 1,
从而当x= — 1时x2+y2有最小值1。二 x2+y2的取值范围是［1, 28 ］。
注意有界性：偶次方 x2> 0，三角函数—1 < sinx < 1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。
?忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。
1
【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+
1
)2+(b+ )2的最小值。 a b
1
错解(a+ )2+(b+
1
a b 1
? (a+ )2+(b+
1 1 2 J 1
)2=a2+b2+ 2 + 2 +4 > 2ab+ +4 > 4 “，ab?— +4=8,
a b ab i ab 1
)2的最小值是8.
a b
1
a2+b2>2ab，第一次等号成立的条件是
a=b=丄，第二次等号
分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式
2
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