名师第七讲 二次根式的运算
式子a (a≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础． (1)ac?bc?(a?b)c (c≥0)； (2)a?b?ab (a?0,b?0)；
aba (a?0,b?0)； b (3)? (4)(a)2?a2(a?0)．
同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．
二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等． 例题求解 【例1】 已知y?x2?2?5x?4x2?2?2，则x2?y2= ． 4?5x (重庆市竞赛题)
思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手． 注： 二次根式有如下重要性质：
(1)a?0，说明了a与a、a2n一样都是非负数；
(2) (a)2?a (a?0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化； (3) (a)2?a，揭示了与绝对值的内在一致性．
著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．
【例2】 化简1?1n2?1(n?1)2，所得的结果为（ ）
A．1?11111111 B．1?? C．1??D．1?? ?nn?1nn?1nn?1nn?1 (武汉市选拔赛试题)
思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式． 注 特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为
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普遍、更为深刻的事实和规律．
【例3】计算： （1）
6?43?32(6?3)(3?2)；
（2）
10?14?15?2110?141521； 114947?4749 （3）
13?3?153?35?75?57???；
315?10?26?33?2?185?23?1．
思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口． 【例4】 (1)化简4?23?4?23； (北京市竞赛题) (2)计算10?83?22 (“希望杯”邀请赛试题)
(3) 计算a?2a?1?a?2a?1． (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)
思路点拨 （1）把4+23万与4—23分别化成一个平方数化简，此外，由于4+23与4—23是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；(3)通过配方，可以简化一重根号，解题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题． 【例5】 已知a?b?2a?1?4b?2?3c?3?c?5，求a?b?c的值． (山东省竞赛题)
思路点拨 已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．
学历训练
1．如果y?2x?3?3?2x?2，那么x?2y= ． (四川省竞赛题) 2．已知xy?3，那么xyx?y的值为 ． (成都市中考题) xy12第2页（共7页）
3．计算(3?1)2001?2(3?1)2000?2(3?1)1999?2001= ．(天津市选拔赛试题)
ab54．若 ab≠0，则等式???1b3?ab飞成立的条件是 ．(淄博市中考题)
5．如果式子(x?1)2?x?2 化简的结果为2x?3，则x的取值范围是( ) A．x≤1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x >0 (徐州市中考题) 6．如果式子(1?a)?1 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ） 1?a A．1?a B．a?1 C．?a?1 D．?1?a
3x?xy?y5x?3xy?4y7．已知x?2xy?y?0(x?0,y?0)，则的值为( )
1321A． B． C． D．
2433a2?1a2?2a?1?8．已知a?，那么的值等于（ ） 2a?1a?a2?31A．?(1?23) B．?1 C．2?3 D．3 9．计算：
(1)1999?2000?2001?2002?1；
（2）3?22?5?26?7?212?9?220?11?230?13?242?15?256?17?272； (北京市数学竞赛题) （3）（4）
11?57?467?77?66?421997(1997?1999)(1997?2001)；
1999(1999?1997)(1999?2001)2001(2001?1997)(2001?1999)??
(“希望杯”邀请赛试题)
10．(1)已知9?13与9?13的小数部分分别是a和b，求ab－3a+4b+8的值；
n?1?nn?1?nn?1?nn?1?n (2)设x?求n．
，y?，n为自然数，如果2x2?197xy?2y2?1993成立，
11．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以
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40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响．
（1）问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由； (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物? (供选用数据：2?1.4，3?1.7) (贵阳市中考题)
12．已知x?3?23?2，y?3?23?2，那么
yx2?xy2= ．(T1杯全国初中数学联赛题)
13．若有理数x、y、z满足x?y?1?z?2?1(x?y?z)，则(x?yz)2= ． 2(北京市竞赛题)
14．设27?102?a?b，其中a为正整数，b在0，1之间，则
a?b= ． a?b15．正数m、n满足m?4mn?2m?4n?4n?3，则
(北京市竞赛题)
16．化简23?22?17?122等于( )
m?2n?8m?2n?2002= ．
A．5—42 B．42一1 C． 5 D．－1 (全国初中数学联赛题) 17．若1?x?1?x，则(x?1)2等于( ) Ax?1 B．1?x C．1 D．－1 (2004年武汉市选拔赛试题)
18．若a?b,a、b、a?b都是有理数，那么a和b面( ) A．都是有理数 B．一个是有理数，另一个是无理数 C．都是无理数 D．有理数还是无理数不能确定 (第13届“希望杯”邀请赛试题) 19．下列三个命题：
①若α，β是互不相等的无理数，则αβ+α－β是无理数； ②若α，β是互不相等的无理数，则
???是无理数； ???③若α，β是互不相等的无理数，则??3?是无理数． 其中正确命题的个数是( )
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A． 0 B．1 C．2 D．3 (全国初中数学联赛试题) 20．计算： （1）
2?5?3230?62?43； （ “希望杯”竞赛题）
（2）
8?215?10?65?3?2； （山东省竞赛题）
110099?99100（3）
121?12?132?23???；（四川省选拔赛题）
(4)2(6?23?25?15)； (5)
5?2?5?15?2?3?22． (新加坡中学生数学竞赛题)
21．(1)求证a?21b2?a2(ab?1)2?a?1a； ?bab?1(2)计算1?1999?21999220002?1．（“祖冲之杯”邀请赛试题） 200022．(1)定义f(x)?13x?2x?1?x?1?x?2x?123232，求f(1)?f(3)???f(2k?1)?f(999)的值；
(2)设x、y都是正整数，且使x?116?x?100?y，求y的最大值． (上海市竞赛题 )
23．试将实数11?2(1?5)(1?7)改写成三个正整数的算术根之和． (2001年第2届全澳门校际初中数学竞赛题)
24．求比(6?5)6大的最小整数． (西安交通大学少年班入学试题)
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(完整版)15年八年级数学同步培优竞赛详附答案：第七讲二次根式的运算
