高考数学中的内切球和外接球问题
一、 有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .
例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A. 16? B. 20? C. 24? D. 32?
3.求多面体的外接球的有关问题
例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 .
解 设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有
?6x?3 ??932
xh??6?84??h?3??1 ?x?2?123.∴外298∴正六棱柱的底面圆的半径r?，球心到底面的距离d?接球的半径R?r2?d2. 体积：V?4?3R. 3小结 本题是运用公式R2?r2?d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
二、构造法(补形法) 1、构造正方体
例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.
例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .
故其外接球的表面积S?4?r2?9?.
小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a,b,c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R?a2?b2?c2. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c，则体对角线长为l?a2?b2?c2，几何体的外接球直径为2R体对角线长l 即R?a2?b2?c2 2练习：在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为1,6,3，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积为S?4?R2?16?
例 6一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. 3? B. 4? C. 33? D. 6?
例7 已知球O的面上四点A、B、C、D，DA?平面ABC，AB?BC，
DA?AB?BC?3，则球O的体积等于 . 解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DA?平面ABC，AB?BC，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为
DA?AB?BC?3，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直
径，利用直角三角形解出CD?3.故球O的体积等于?.（如图4）
BABCA92DOO图4
CD图5
(完整版)高考数学中的内切球和外接球问题.
