高中苏教数学③3.3~3.4几何概型、互斥事件教材解读
一、几何概型
1．几何概型的定义
对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都是一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型． 探究1：几何概型的特点
（1）无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；
（2）等可能性：在一次随机试验中，每个结果出现的可能性相等，即每个基本事件的发生是等可能的．
探究2：几何概型与古典概型的区别与联系
前者的基本事件数有无限多个，而后者的基本事件数只有有限个． 2．几何概型的概率公式
一般地，在几何区域Ｄ中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率．
注意：此公式适用于解决与长度、面积和体积等几何测度有关的问题，即每个事件发生的概率只与构成该事件区域的测度成比例，故此公式也可表示为： ．
归纳：求几何概型的概率的基本步骤 ①求区域D的“测度”； ②求区域d的“测度”； ③代入计算公式． 二、互斥事件
1．互斥事件：不可能同时发生的两个事件； 对立事件：必有一个发生的互斥事件．
注意：①互斥事件与对立事件可借助图形理解；
②事件A与事件Ｂ及Ｃ互斥，但未必有Ｂ与Ｃ互斥．例如：抛掷一枚骰子，观察掷出的点数．事件A为“出现的点数为奇数点”，事件Ｂ为“出现的点数为偶数点”，事件Ｃ为“出现的点数为6点”，则事件A与事件Ｂ互斥，且事件A与事件Ｃ也互斥，但事件Ｂ与事件Ｃ不互斥．
③事件A与事件Ｂ对立包含两层含义：一是A与事件Ｂ不可能同时发生，二是A与事件Ｂ必有一个发生．
探究：对立事件与互斥事件的异同 ①从定义上加以区分，对立事件必定是互斥事件，两个互斥或对立事件不能同时发生．但对立事件有且只有一个发生，而互斥事件则可能两个都不发生，即互斥事件至多有一个发生．
②从集合的观点看，表示互斥事件与对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集．
③两个对立事件的概率之和一定等于1，而两个互斥事件概率之和小于或等于1． 2．互斥事件的加法公式及对立事件的概率公式 （1）互斥事件的加法公式：； （2）对立事件的概率公式：
注意：①的推导过程如下：显然，所以有．而，所以；②当直接计算某事件的概率比较困难时，可以转而去计算其对立事件的概率．
1．要切实理解并掌握几何概型的两个基本特点：无限性与等可能性．
2．几何概型的试验中，事件A的概率只与子区间A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置与形状无关．
3．求试验为几何概型的概率关键是求得事件所占区域A和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解．
4．搞清概念的意义，比如几何概型、互斥事件、对立事件等．只有弄清事件之间的关系类型，才能准确利用公式．
1．解决几何概型问题，首先要判断事件的等可能性，这是同学们容易忽略的．
2．对立事件与互斥事件是一对易混淆的概念．解题时，同学们往往会因概念不清出错．
感悟互斥事件与对立事件
在利用概率的性质时，一定要注意互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同情形：①事件A发生且事件B不发生；②事件A不发生且事件A发生；③事件A与事件Ｂ同时不发生．而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形：①事件A发生，事件B不发生；②事件B发生，事件A不发生．对立事件是互斥事件的特殊情形．
例1 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件Ｄ为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件． （1）A与C （2）B与E （3）B与D （4）B与C （5）C与E
分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生．
解：（1）由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
（2）事件Ｂ“至少订一种报”与事件Ｅ“一种报也不订”是不可能同时发生的，故Ｂ与Ｅ是互斥事件．由于事件Ｂ发生可导致事件Ｅ一定不发生，且事件Ｅ发生会导致事件Ｂ一定不发生，故Ｂ与Ｅ还是对立事件．
（3）事件Ｂ“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，显然事件Ｂ发生，事件Ｄ也可能发生，故Ｂ与Ｄ不互斥．
（4）事件Ｂ“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”、“只订乙报”、“订甲、乙两种报”，事件Ｃ“至多订一种报”中有这些可能：“什么也不订”、“只订甲报”、“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故Ｂ与Ｃ不是互斥事件．
（5）由（4）的分析，事件Ｅ“一种报也不订”只是事件Ｃ的一种可能，故事件Ｃ与事件Ｅ有时可能同时发生，故Ｃ与Ｅ不互斥．
评注：由对立事件的定义可知，对立事件首先是互斥事件，并且其中一个一定要发生，因此两个对立事件一定是互斥事件，但两个互斥事件却不一定是对立事件，解题时一定要搞清两种事件的关系．
例2 某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算这个射手在一次射击中：
（1）射中10环或7环的概率； （2）不够7环的概率．
分析：对于（1），由于射手在一次射击中，射中10环与射中7环不可能同时发生，故这两个事件为互斥事件，且求的又是两事件和的概率，故可用公式求解．对于（2），不够7环的反面是大于等于7环，即射中7环、8环、9环、10环，故可用对立事件的方法处理．
解：（1）记“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件Ｂ，由于在一次射击中，A与Ｂ不可能同时发生，故A与Ｂ是互斥事件．
∴射中10环或7环的概率为．
（2）记“不够7环”为事件Ｅ，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”． 由（1）可知“射中7环”、“射中8环”等等是彼此互斥事件， ∴，从而．
评注：必须分清楚事件A、Ｂ互斥的原因，只有互斥事件才可考虑用概率的加法公式；当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求解时，可先转化为求其对立事件的概率．
《互斥事件》文字素材2(苏教版必修3)
