图形变换的规律研究与实践
在图形的平移、翻折与旋转运动变化中寻找不变的量;对应边相等，对应角相等.把握规 律，探究关系，要学会把图形的对称性与分类讨论的数学思想结合在一起.
一、图形的平移
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.平移特 征:图形平移时，图形中的每一点的平移方向都相同，平移距离都相等.
实践1在AABC,AB = AC,ZA = 30°，将线段绕点〃逆时针旋转60°得到线段
BD,再将线段BD平移到EF，使点E在A3上,点、F在AC上.⑴如图1,直接写出ZABD 和ZCFE的
度数;(2)在图1中证明AE = CF;⑶如图2,连接CE,判断4CEF的形状并加 以证明.
图1 图2 图3 图4
解析 ⑴ ZABP = 15°,ZCF￡ = 45°. ⑵连接CD、DF,如图3所示.
???线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段
:BD = BC , ZCBD = 60° ???ABCQ是等边三角形.
??? CD = BD.
???线段BD平移到EF ,???EF〃BD,EF = BD? ???四边形BDFE是平行四边形 ??.EF = CD.
??? AB = AC.ZA = 30° ??? ZABC = ZACB = Z75°. ??? ZABD = ZABC - ZCBD = 15° = ZACD, ??? ZDFE = ZABD = 15。, ZAFE = ZABD = 15°.
??? ZAEF = ZACD = \\5°. ??? ZCFE =乙4 + ZAEF = 30。+15。= 45° ,
??? ZCFZ) = ZCFE-ZDFE = 45°-15° = 30°,
??? ZA = ZCFD = 30°
??? \\AEF = \\FCD :. AE = CF . (3) ACEF是等腰直角三角形.
证明如下:如图4,过点E作EG丄CF于点G.
??? ZCFE = 45° ??? ZFEG = Z45° /. EG = FG.
??? ZA = 30°,ZAGE = 90° /. EG = ^AE.
??? AE = CF :. EG = -CF /. FG = -CF :. G 为 CF 的中点 2 2
???EG为CF的垂直平分线.???EF = EC :.ZCEF = 2ZFEG = 90°
二、图形的翻折
翻折是指把一个图形按某一直线翻折180°后形成的新的图形的变化.解这类题要抓住 翻折前后两个图形是全等的，弄清翻折后不变的要素.
实践2如图5将一张三角形纸片ABC折叠，使点A落在BC边上，折痕EF//BC, 得到AEFG;再继续将纸片沿ABEG的对称轴EM折叠，依照上述作法，再将ACFG折叠, 最终到矩形EMNF,折叠后AEMG和AFNG的面积分别为1和2,则AABC的面积为
/. \\CEF是等腰直角三角形.
图5
解析 根据折叠的性质可知，AAEF = \\GEF,\\EBM = AEGM, \\FCN = \\FGN . 则\\ABC的面积为
矩形.
三、图形的旋转
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这 样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫作旋转中心，图形转动的角叫作旋转角.旋转特 征:图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角，旋转也是图形的 一种基本变换，通过图形旋转变换将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，使问题 得到简单的解决，它是一种重要的解题方法.
实践3在平面直角坐标系中，O为原点，点A(—2,0),点B(0,2),点E,点F分别 为04,03的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OEW,记旋转角为a.
⑴如图6⑴所示，当a = 90。时，求AE：BF‘的长;
(2)如图6(2)所示，当0 = 135。时，求证= 且AF丄
解析
⑴当0 = 90。时，如图6(2)所示，因为正方形0F7TE'是由正方形OEO绕点
顺时针旋转90°得到0 B = 2.因为点E,点F分别为0A,0B的中点，所以0 E = OF = l, 因为正方形0E'DF是正方形0EDF绕点0顺时针旋转90°得到的，所以OE' = OE = \\,
OF' = OF = \\.在 RfAAE'O 中，AE = JOA + OE'》=VF+F =厉.在 RtABOF'中，
f1BF = y/OB + OF' = >/22 +12 = A/5 .(2)当 0 = 135。时，如图 6(2)所示.因为正方形
f22OE'D'F'是由正方形0￡QF绕点0顺时针旋转135°所得，所以ZA0E = ZB0F = 135°. 在 ZOE'ff和 \\B0F'中，A0 = B0 , ZAOE' = ZBOF' , 0E' = 0F‘ t 所 以
f\\AOE = 'BOF'(SAS).所以 AE = BF',且 ZOAE = ZOBF'.
因为 ZACB = ZCAO + ZAOC = kCBP + ZCPB, ZCAO = ZCBP, 所以ZCPB = ZAOC = 90°,所以丄
ffBF.
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