解析：（Ⅰ）由解得 得椭圆的方程为.
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线为
．
的方程为或，此时四边形的面积
当直线的斜率存在时，设直线方程是
，联立椭圆方程
，
点到直线由
的距离是得
因为点在曲线上，所以有由题意四边形
为平行四边形，所以四边形
整理得的面积为
由
得
, 故四边形
的面积是定值，其定值为
．
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，以及椭圆中的定值问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，计算量较大，属于常考题型.
跟踪训练三
x2y2*1．已知椭圆系方程Cn： 2?2?n (a?b?0，n?N)， F1,F2 是椭圆C6的焦点，
abA?uuuuvuuuuv6，3是椭圆C6上一点，且AF2?F1F2?0．
? 11
（1）求Cn的离心率并求出C1的方程；
（2）P为椭圆C3上任意一点，过P且与椭圆C3相切的直线l与椭圆C6交于M， N两点，点P关于原点的对称点为Q，求证： ?QMN的面积为定值，并求出这个定值．
x2y2解析：（1）椭圆C6的方程为：2?2?6
ab?AF2?F1F2?0?AF2?F1F2,又A(6,3)?c?6
(6)2(3)2?6a?6b?c?6且??1226a6b
2x?a2?2,b2?1?椭圆Cn的方程为：?y2?n2222椭圆Cn的离心率e?x22n2?n222C的方程为：?y?1 ，椭圆?12222n（2）解法一：设P(x0,y0),则Q(?x0,?y0) 当直线l斜率存在时，设l为： y?kx?m，
x2?y2?3 联立得： ?2k2?1?x2?4kmx?2m2?6?0 则y0?kx0?m，由{2y?kx?m由??0得m2?32k2?1
??Q到直线l的距离d??kx0?y0?mk?12?2mk?12
x2?y2?6 联立得： ?2k2?1?x2?4kmx?2m2?12?0 同理，由{2y?kx?m2m2?124km， x1x2? ?x1?x2??22k2?12k?1
12
?MN?
?k??2?1??x1?x2??4x1x2? ????2?2?4km2m2?12???2k?1???2??4?2? 2k?12k?1?????????k2?1812k2?6?m2?2k2?1?2? ?22k2?1m2k2?1
?S?QMN2122k?1m1?MNd ??22k2?122mk2?1 ?22m22k2?1 ?22?32k2?12k2?1??
?62 当直线l斜率不存在时，易知?S?QMN?62， ?QMN的面积为定值62
x2?y2?3， 解法（二）：设P?x0,y0?，由（1）得C3为： 2∴过P且与椭圆C3相切的直线l：
x0x?y0y?3．且x02?2y02?6 2点P关于原点对称点Q??x0,?y0?，点Q到直线l的距离设M?x1,y1?， N?x2,y2? 由{
x0x?2y0y?6 得4x2?8x0x?24?16y02?0 ?x2?2x0x?6?4y02?0 22x?2y?122x0222x1?x2?2x0， x1x2?6?4y0，∴ MN?1?4x0?24?16y024y0
1112∴?QMN的面积为S?d?MN?
2222x0?4y0（定值） 当y0?0时，易知
，
x02221?4x0?24?16y024y0综上： ?QMN的面积为定值62． 2. （九师联盟2019届）已知点是抛物线：且
.
的焦点，点是抛物线上的定点，
（1）求抛物线的方程； （2）直线
与抛物线交于不同两点，
13
，且（为常数），直线
与平行，且与抛物线相切，切点为，试问的面积是否是定值.若是，求出这个定
值；若不是，请说明理由. 解析：（1）设所以
，由题知
.
，
所以代入
，即
中得
. ，解得.
的斜率存在，设其方程为
，
.
.
所以抛物线的方程为（2）由题意知，直线由则∴设
的中点为，
.
，消去，整理得，
.
，
则点的坐标为由条件设切线方程为由
，
.
，消去整理得
∵直线与抛物线相切， ∴∴∴
∴切点的坐标为∴∵又∵∴∴
∵为常数，
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.
.
，∴
.
.
，
.
.
.
，∴
.
轴，∴
∴的面积为定值，且定值为.
【点睛】本题考查了抛物线的综合知识，以及直线与抛物线的相交相切的综合知识，解题的关键是在转化和计算，属于难题. 直线与圆锥曲线解题步骤：
(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；
（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理； （3）转化，由题已知转化为数学公式； （4）计算，细心计算. 3. （泸州市2019届）已知椭圆
中恰有三点在椭圆上．
，点
，
（1）求椭圆的方程； （2）设椭圆于点
是椭圆上的动点，由原点向圆，若直线
的斜率存在，并记为
，试问
引两条切线，分别交的面积是否为定值？若是，
求出该值；若不是，请说明理由．
解析：（1）由于P3，P4两点关于原点对称，故由题设可知C经过P3，P4两点， ∵
，
则图象不经过点P1，故P2在椭圆上， ∴b＝
，
，解得a2＝6，b2＝3，
.
故椭圆C的方程为
（2）∵直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，与圆M相切， 由直线和圆相切的条件：d＝r，可得即有（x02﹣2）k12﹣2x0y0k1+y02﹣2＝0， 同理：直线OQ：y＝k2x与圆M相切，
15
，
最全总结之圆锥曲线定值问题
