第五章 一元函数积分学
5.1 原函数和不定积分的概念
一、原函数与不定积分的概念
定义：如果在区间I内，存在可导函数F（x）使都有F＇（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I内原函数。 例：
，sinx是cosx的原函数。
Lnx是
在区间（0，+∞）内的原函数。
原函数存在定理：
如果函数f（x）在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F（x），使，都有F＇（x）=f（x）。
简言之：连续函数一定有原函数。
问题：（1）原函数是否唯一？
（2）若不唯一它们之间有什么联系？
例：（sinx）＇=cosx （sinx+C）＇=cosx
（C为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若F＇（x）=f（x），则对于任意常数C，F（x）+C都是f（x）的原函数。
（2）若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）-G（x）=C（C为任意常数）
证∵[F（x）-G（x）] ＇=F＇（x）-G＇（x）
=f（x）=f（x）=0
∴F（x）-G（x）=C（C为任意常数）
不定积分的定义：
函数f（x）的全体原函数的集合称f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。
式，C为任意常数。
,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达
例：求。
【答疑编号11050101】
解：
例：求。
【答疑编号11050102】 解：
积分曲线
例 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。
【答疑编号11050103】
解：设曲线方程为y=f（x）,
根据题意知
即f（x）是2x的一个原函数。
由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为y =x2+1。
函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线。显然，求不定积分得到一积分曲线族。
不定积分的性质
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
5.2 基本积分公式
实例
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。
基本积分表 （1）
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自考高等数学（一）第五章 一元函数积分学
