则物体落回地面的时间为
Δt2?2Δt1?于是,在相应的过程中重力的冲量分别为
2v0sin? gI1??Δt1Fdt??mgΔt1j??mv0sin?j
I2??Δt2Fdt??mgΔt2j??2mv0sin?j
解2 根据动量定理,物体由发射点O 运动到点A、B 的过程中,重力的冲量分别为
I1?mvAyj?mv0yj??mv0sinαj I2?mvByj?mv0yj??2mv0sinαj
3 -8 Fx ＝30＋4t(式中Fx 的单位为N,t 的单位为s)的合外力作用在质量m＝10 kg 的物体上,试求：(1) 在开始2ｓ 此力的冲量；(2) 若冲量I ＝300 N·s,此力作用的时间；(3) 若物体的初速度v1 ＝10 m·s-1 ,方向与Fx相同,在t＝6.86 s时,此物体的速度v2 ．
分析 本题可由冲量的定义式I??Fdt,求变力的冲量,继而根据动量定理求物
t1t2体的速度v2． 解 (1) 由分析知
2I??0?30?4t?dt?30t?2t220?68N?s
(2) 由I ＝300 ＝30t ＋2t2 ,解此方程可得
t ＝6.86 s(另一解不合题意已舍去)
(3) 由动量定理,有
I ＝m v2- m v1
由(2)可知t ＝6.86 s 时I ＝300 N·s ,将I、m 及v1代入可得
I?mv1v2??40m?s?1
m3 -9 高空作业时系安全带是非常必要的．假如一质量为51.0 kg 的人,在操作时不慎从高空竖直跌落下来,由于安全带的保护,最终使他被悬挂起来．已知此时人离原处的距离为2.0 m ,安全带弹性缓冲作用时间为0.50 s ．求安全带对人的平均冲力．
分析 从人受力的情况来看,可分两个阶段：在开始下落的过程中,只受重力作用,人体可看成是作自由落体运动；在安全带保护的缓冲过程中,则人体同时受重力和安全带冲力的作用,其合力是一变力,且作用时间很短．为求安全带的冲力,可以从缓冲时间,人体运动状态(动量)的改变来分析,即运用动量定理来讨论．事实上,
动量定理也可应用于整个过程．但是,这时必须分清重力和安全带冲力作用的时间是不同的；而在过程的初态和末态,人体的速度均为零．这样,运用动量定理仍可得到相同的结果．
解1 以人为研究对象,按分析中的两个阶段进行讨论．在自由落体运动过程中,人跌落至2 m 处时的速度为
v1?2gh (1)
在缓冲过程中,人受重力和安全带冲力的作用,根据动量定理,有
?F?P?Δt?mv2?mv1 (2)
由式(1)、(2)可得安全带对人的平均冲力大小为
F?mg?Δ2ghΔ?mv??mg??1.14?103N
ΔtΔt解2 从整个过程来讨论．根据动量定理有 mgF?2h/g?mg?1.14?103N
Δt3 -10 质量为m 的小球,在合外力F ＝-kx 作用下运动,已知x ＝Acosωt,其中k、ω、A 均为正常量,求在t ＝0 到t?π 时间小球动量的增量． 2ω分析 由冲量定义求得力F的冲量后,根据动量原理,即为动量增量,注意用式
?t2t1Fdt积分前,应先将式中x 用x ＝Acosωt代之,方能积分．
解 力F 的冲量为
I??t1Fdt??t1?kxdt???0即 Δ?mv???kA ωt2t2π/2?kAcos?tdt??kA?
3 -11 一只质量m1?0.11kg的垒球以v1?17m?s?1水平速率扔向打击手，球经球棒击出后，具有如图（a）所示的速度且大小v2?34m?s?1，若球与棒的接触时间为0.025 s,求：（1）棒对该球平均作用力的大小；（2）垒球手至少对球作了多少功？
分析 第（1）问可对垒球运用动量定理，既可根据动量定理的矢量式，用几何法求解，如图（b）所示；也可建立如图（a）所示的坐标系，用动量定量的分量式求解，对打击、碰撞一类作用时间很短的过程来说，物体的重力一般可略去
不计.
题 3-11 图
解 （1） 解 1 由分析知，有
F?t?mv2?mv1
其矢量关系如图（b）所示，则
(F?t)2?(mv1)2?(mv2)2?2(mv1)(mv2)cos(180??60?)
解之得 F?197.9N 解 2 由图（a）有
Fx?t?mv2x?mv1x Fy?t?mv2y?0
将v1x?v,v2x??v2cos60?及v2y?v2sin60?代入解得Fx和Fy，则
F?Fx?Fy?197.9N
(2) 由质点动能定理，得
221212W?mv2?mv1?47.7J
223 -12 如图所示,在水平地面上,有一横截面S ＝0.20 m2 的直角弯管,管中有
流速为v ＝3.0 m·ｓ-1 的水通过,求弯管所受力的大小和方向．
题 3-12 图
分析 对于弯曲部分AB 段的水而言,由于流速一定,在时间Δt ,从其一端流入的水量等于从另一端流出的水量．因此,对这部分水来说,在时间Δt 动量的增量也就是流入与流出水的动量的增量Δp＝Δm(vB -vA )；此动量的变化是管壁在Δt时间对其作用冲量I 的结果．依据动量定理可求得该段水受到管壁的冲力F；由牛顿第三定律,自然就得到水流对管壁的作用力F′＝-F．
解 在Δt 时间,从管一端流入(或流出) 水的质量为Δm ＝ρυSΔt,弯曲部分AB 的水的动量的增量则为
Δp＝Δm(vB -vA ) ＝ρυSΔt (vB -vA )
依据动量定理I ＝Δp,得到管壁对这部分水的平均冲力
IF??ρSvΔt?vB?vA?
Δt从而可得水流对管壁作用力的大小为
F???F??2ρSv2??2.5?103N
作用力的方向则沿直角平分线指向弯管外侧． 3 -13 A、B 两船在平静的湖面上平行逆向航行,当两船擦肩相遇时,两船各自向对方平稳地传递50 kg 的重物,结果是A 船停了下来,而B 船以3.4 m·s-1的速度继续向前驶去．A、B 两船原有质量分别为0.5×103 kg 和1.0 ×103 kg,求在传递重物前两船的速度．(忽略水对船的阻力)
分析 由于两船横向传递的速度可略去不计,则对搬出重物后的船A与从船B搬入的重物所组成的系统Ⅰ来讲,在水平方向上无外力作用,因此,它们相互作用的过程中应满足动量守恒；同样,对搬出重物后的船B与从船A搬入的重物所组成的系统Ⅱ亦是这样．由此,分别列出系统Ⅰ、Ⅱ的动量守恒方程即可解出结果． 解 设A、B两船原有的速度分别以vA 、vB 表示,传递重物后船的速度分别以vA′ 、vB′ 表示,被搬运重物的质量以m 表示．分别对上述系统Ⅰ、Ⅱ应用动量守恒定律,则有
?mA?m?vA?mvB?mAv?A (1) ?mB?m?vB?mvA?mBv?B? (2)
由题意知vA′ ＝0, vB′ ＝3.4 m·s-1 代入数据后,可解得
vA??mBmv?B??0.40m?s?1 2?mB?m??mA?m??mvB??mA?m?mBv?B?mA?m??mB?m??m2?3.6m?s?1
也可以选择不同的系统,例如,把A、B两船(包括传递的物体在)视为系统,同样能满足动量守恒,也可列出相对应的方程求解．
3 -14 质量为m′ 的人手里拿着一个质量为m 的物体,此人用与水平面成α角的速率v0 向前跳去．当他达到最高点时,他将物体以相对于人为u 的水平速率向后抛出．问：由于人抛出物体,他跳跃的距离增加了多少？ (假设人可视为质点)
分析 人跳跃距离的增加是由于他在最高点处向后抛出物体所致．在抛物的过程中,人与物之间相互作用力的冲量,使他们各自的动量发生了变化．如果把人与物视为一系统,因水平方向不受外力作用,故外力的冲量为零,系统在该方向上动量守恒．但在应用动量守恒定律时,必须注意系统是相对地面(惯性系)而言的,因此,在处理人与物的速度时,要根据相对运动的关系来确定．至于,人因跳跃而增加的距离,可根据人在水平方向速率的增量Δv 来计算．
解 取如图所示坐标．把人与物视为一系统,当人跳跃到最高点处,在向左抛物的过程中,满足动量守恒,故有
?m?m??v0cosα?m?v?m?v?u?
式中v 为人抛物后相对地面的水平速率, v -u 为抛出物对地面的水平速率．得
mv0?v0cosα?u
m?m?人的水平速率的增量为
mΔv?v?v0cosα?u
?m?m而人从最高点到地面的运动时间为
t?v0sinα g所以,人跳跃后增加的距离
物理学教程(第二版)(上册)课后习题答案详细讲解
