第三课时 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
（一）教学目标 1．知识与技能
（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理； （2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系. 2．过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识； 3．情感、态度与价值观
通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.
（二）教学重点、难点 两个性质定理的证明. （三）教学方法
学生依据已有知识和方法，在教师指导下，自主地完成定理的证明、问题的转化. 教学过程 教学内容 师生互动 设计意图 问题1：判定直线和平面垂直的方法有几种？ 问题2：若一条直线和一个师投影问题. 学生思考、新课导入 平面垂直，可得到什么结论？若讨论问题，教师点出主题 两条直线与同一个平面垂直呢？ 生：借助长方体模型AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间相互平行，所以结论成立. 师：怎么证明呢？由于无么直线a、b一定法把两条直线a、b归入到一个平行吗？ 平面内，故无法应用平行直线已知a??,b?? 的判定知识，也无法应用公理求证：b∥a. 4，有这种情况下，我们采用“反证明：假定b不平行于a，证法” 探索新知 设b?=0 师生边分析边板书. b′是经过O与直线a平行的直线 ∵a∥b′，a?? ∴b′⊥a 即经过同一点O的两线b、b′都与?垂直这是不可能的， 因此b∥a. 2．直线与平面垂直的性质定理 一、直线与平面垂直的性质定理 1．问题：已知直线a、b和平面?，如果a??,b??，那复习巩固以旧带新 借助模型教学，培养几何直观能力.，反证法证题是一个难点，采用以教师为主，能起到一个示范作用，并提高上课效率. 1
垂直于同一个平面的两条直线平行 简化为：线面垂直?线线平行 二、平面与平面平行的性质教师投影问题，学生思考、定理 观察、讨论，然后回答问题 1．问题 生：借助长方体模型，在黑板所在平面与地面所在长方体ABCD – A′B′C′D′平面垂直，你能否在黑板上画一中，面A′ADD′⊥面ABCD，A′A条直线与地面垂直？ ⊥AD，AB⊥A′A ∵ADA?A?A ∴A′A⊥面ABCD 故只需在黑板上作一直线与两个平面的交线垂直即可. 师：证明直线和平面垂直一般都转化为证直线和平面内两条交线垂直，现AB⊥CD，需找一条直线与AB垂直，有条件???还没有用，能否利用???构造一条直线与AB垂直呢？ 生：在面?内过B作BE⊥ 2．例1 设???，??=CD，AB??，AB⊥CD，AB⊥CD = B求证AB?? 探索新知 证明：在?内引直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面CD即可. 角??CD??的平面角.由师：为什么呢？ AB⊥BE,又AB⊥CD,BE???知，学生分析，教师板书 与CD是?内的两条相交直线， 所以AB⊥? 3．平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 简记为：面面垂直?线面垂直. 例2 如图，已知平面?,?，???，直线a满足a??，a??，试判断本例题的难点是构造辅助线，采用分析综合法能较好地解决这个问题. 典例分析 直线a与平面?的位置关系. 解：在?内作垂直于?与?交线的直线b， 因为a??，所以b?? 因为a??，所以a∥b. 师投影例2并读题 生：平行 师：证明线面平行一般策略是什么？ 生：转证线线平行 师：假设内一条直线b∥a则b与?的位置关系如何？ 生：垂直 师：已知b??,???，怎样作直线b？ 巩固所学知识，训练化归能力. 巩固所学知识，训练分类思想化归能力及思维的 2
又因为a??，所以a∥?. 生：在?内作b垂直于?、灵活性. ?的交线即可. 即直线a与平面?平行. 例3 设平面?⊥平面?，学生写出证明过程，教师点P作平面?的垂线a，试判断投影. 直线a与平面?的位置关系？ 师投影例3并读题，师生证明：如图，设??= c，共同分析思路，完成证题过程，过点P在平面?内作直线b⊥c，然后教师给予评注. 根据平面与平面垂直的性质定师：利用“同一法”证明理有b??. 问题主要是在按一般途径不易因为过完成问题的情形下，所采用的一点有且只一种数学方法，这里要求做到有一条直线两点.一是作出符合题意的直与平面?垂线不易想到，二是证直线b与直，所以直线直线a重合，相对容易一些，a与直线b垂合，因此a??. 本题注意要分类讨论，其结论也可作性质用. 1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”错误的画“×”. （1）a．垂直于同一条直线的两个平面互相平行. （ √ ） b．垂直于同一个平面的两条直线互相平行. （ √ ） c．一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直. （ √ ） （2）已知直线a，b和平面?，且a⊥b，a⊥?，则b与?的位置关系是 . 答案：b∥?或b??. 随堂练习 2．（1）下列命题中错误的．．是（ A ） A．如果平面?⊥平面?，那么平面?内所有直线垂直于平面?. B．如果平面?⊥平面?，那么平面?内一定存在直线平行于平面?. C．如果平面?不垂直平面那么平面?内一定不存在直?，线垂直于平面?. D．如果平面?⊥平面?，平面?⊥平面?，???l，那么l??. 学生独立完成 巩固、所学知识 3
（2）已知两个平面垂直，下列命题（ B ） ①一个平面内已积压直线必垂直于另一平面内的任意一条直线. ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线. ③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面. ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．设直线a，b分别在正方体ABCD – A′B′C′D′中两个不同的面所在平面内，欲使a∥b，a，b应满足什么条件？ 答案：不相交，不异面 4．已知平面?，?，直线a，且???，???AB，a∥?，a⊥AB，试判断直线a与直线?的位置关系. 答案：平行、相交或在平面?内 1．直线和平面垂直的性质 2．平面和平面垂直的性质 学生归纳总结，教材再补3．面面垂直线面垂直充完善. 线线垂直 回顾、反思、归纳知识提高自我整合知识的能力. 固化知识 提升能力 归纳总结 课后作业 备选例题
2.3 第三课时 习案 学生独立完成 例1 把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面?垂直，a是?内一条直线，若斜边AB与a垂直，则
BC是否与a垂直？
a?AC?AC????【解析】??a?AB?
a???ACAB?A?? 4
?a?平面ABC???a?BC
BC?平面ABC?【评析】若BC与?垂直，同理可得AB与?也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法：“线线垂直→线面垂直→线线垂直” ．
例2 求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已知?⊥r，?⊥r，?∩?= l，求证：l⊥r．
【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在r内构造两相交直线分别与平面?、?垂直．或由面面垂直的性质易在?、?内作出平面r的垂线，再设法证明l与其平行即可．
【证明】法一：如图，设?∩r = a ，?∩r = b，在r内任取一点P．过点P在r内作直线m⊥a，n⊥b．
∵?⊥r，?⊥r，
∴m⊥a，n⊥?（面面垂直的性质）． 又?∩?= l，
∴l⊥m，l⊥n．又m∩n = P，m，n?r ∴l⊥r．
法二：如图，设?∩r = a，?∩r = b，在?内作m⊥a，在?内作n⊥b． ∵?⊥r，?⊥r， ∴m⊥r，n⊥r．
∴m∥n，又n??，m??， ∴m∥?，又?∩?= l，m??， ∴m∥l，
又m⊥r，∴l⊥r．
【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键．证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化；证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化．此题是线线、面面垂直转化的典型题，通过一题多解，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益的．
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高中数学 2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质精品教案 新人教A版必修2
