基于非光滑控制的一类不确定非线性系统的输出调节

基于非光滑控制的一类不确定非线性系统的输出调节

程鹏杰1， 孟桂芝2

【摘 要】摘 要: 针对一类具有不确定性的非线性系统的输出调节问题，通过坐标变换将其转换为镇定问题，利用外系统信息设计出具有误差项的线性内模，引入非光滑分析理论和动态面法，结合Backstepping 设计方法和Lyapunov法给出了状态反馈的非光滑控制器，避免了Backstepping 设计方法中所存在的“虚拟控制必须为光滑函数”问题，所提出的控制器能够实现整个闭环系统的信号均一致最终有界且跟踪误差可以保证在预设的任意小范围内，数值仿真结果表明所提出的非光滑控制器的有效性。 【期刊名称】黑龙江大学自然科学学报 【年(卷),期】2017(034)004 【总页数】7

【关键词】关键词: 内模； 非光滑控制； Backstepping技术； Lyapunov方法

【文献来源】

https://www.zhangqiaokeyan.com/academic-journal-cn_journal-natural-science-

heilongjiang-university_thesis/0201249650527.html

0 引 言

输出调节问题又称为伺服问题,是近年来非线性控制理论研究的热点问题之一 [1-3]。对于线性系统，解决其输出调节问题的有力工具是内模原理 [4]，内模的提出也使非线性输出调节问题得到迅速的发展,特别是对含有不确定性的输出调节问题，更是引起了学者们的广泛关注[5-12]。在实际系统中，由于外部环境的影响，总是存在不同的非参数和参数不确定性。目前，对含有参数不确定

性的非线性输出调节问题，学者们已经进行了深入的研究[5-10]。鲁棒控制方法[8]和自适应观测器[9]是解决这类问题的主要方法。但对含有非参数不确定性的非线性输出调节问题，则研究成果较少[11-12]。Backstepping技术(反步法)是处理含有非参数不确定性系统的一种有效设计手段[13]。文献[11]利用Backstepping技术研究了由含有未知参数的外系统驱动的具有未知连续函数项的非线性下三角系统的输出调节问题。文献[12]结合动态面控制法解决了具有未知连续函数项的非线性系统的输出调节问题.但是Backstepping技术存在“所得到的虚拟控制必须为光滑函数”问题，为避免虚拟控制必须为光滑的，引入非光滑分析方法[14]，它也是一种典型的非光滑控制设计方法。文献[15]针对不确定非线性系统的镇定问题，基于Backstepping设计方法，利用非光滑分析理论，设计出鲁棒非光滑控制律。而将非光滑控制引入到输出调节，利用非光滑控制和Backstepping设计技术结合设计出相应的非光滑控制器和内模也非常具有挑战性。

本文首次提出应用非光滑分析方法去设计非光滑反馈控制器，解决具有非参数不确定的函数项的非线性系统的输出调节问题。与文献[11-12]不同的是,本文中的不确定项只需要被C1函数界定, 不需要用光滑函数界定,同时通过引入非光滑分析理论，可以避免所得到的虚拟控制必须为光滑函数,再结合Backstepping技术设计状态反馈控制器和内模使得所得到的整个闭环系统能够达到一致最终有界且跟踪误差在预设的任意小范围内。

1 问题描述

考虑非线性系统 (1)

其中x=[x1,x2,…,xn]T∈Rn表示系统状态,u∈R表示控制输入,y∈R表示系统输出,函数fi(x1,…,xi)(i=1,…,n)为已知且光滑的，Δfi(x1,…,xi)(i=1,…,n)为未知连续函数，包含外界干扰和未建模动态的不确定项,不要求一定是Lipscitz的。e为跟踪误差，已知光滑函数di(w)、R(w)分别表示非期望的外扰动和参考输入。w∈Ω表示外系统产生的信号，它由如下的线性系统(被称为外系统)产生的： (2)

其中Ω表示已知确定的包含原点的任意紧致子集。 对系统(1)和(2)作下述假设:

假设1： 对系统(1)中的不确定项Δfi(x1,…,xi),一定存在已知函数gi(x1,…,xi)满足:

|Δfi(x1,…,xi)| gi(x1,…,xi), 1in,

其中函数gi(x1,…,xi)为C1的,且不需要是Lipschitz的。 假设2： 外系统(2)满足中性稳定性条件[1]。

接着给出一些跟本文有关的非光滑分析的概念和相关结论。不妨记为集合凸闭包，μ为Rn中的Lebesgue测度。B(x,r)为Rn中以x为心，r为半径的开球域。 定义(Filippov解[16]) 一个绝对连续的向量函数x(t):[t0,t1]→Rn被称为非线性方程在[t0,t1]上的Filippov解，如果x(t)满足 a.e.t∈[t0,t1],

其中,且为所有集合N(N满足Lebesgue测度为零)的交。

定理 (链法则[14]) 若正则函数V:Rn→R局部满足Lipschitz连续，x(t)是(x)的Filippov向量解，则V(x(t))关于时间t绝对连续，且其导数满足: 其中,(t))，?V为V(x(t))的Clarke广义梯度。