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有关煤矿安全问题的随机事故分析模型
摘 要
煤矿频频发生事故，造成的大量的人员丧亡和损失，虽然各级政府和相关的管理部门一再强调安全生产的重要性，但还是不能有效地遏制煤矿各种事故的发生，这是什么原因？有没有什么办法可以使这些事故尤其是重大安全得到遏制、减少？本文从事故发生的机理方面进行研究表明最优检测成本与损失成本相等；最坏情形下发生事故的概率分布函数是时间t的单调增的函数，不仅是随时间增加的，而且随时间的增长有加速的趋势,安全运行的时间越长，发生意外事故的可能性越大；我们只有全力防，加大检测密度，尽可能采用先进检测装备，降低每次的检测成本，才可以最大限度的减少事故的发生。
1． 问题的提出
近年来，煤矿频频发生事故，造成的大量的人员丧亡和损失，虽然各
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级政府和相关的管理部门一再强调安全生产的重要性，但还是不能有效地遏制煤矿各种事故的发生，这是什么原因？有没有什么办法可以使这些事故尤其是重大安全得到遏制、减少？我们将从事故发生的机理方面进行研究以求得到一些有用的结论。
目前我国大多数煤矿的生产条件和环境都很不理想，有的一些中小煤矿的生产环境甚至可以用“恶劣”来描述，即便是生产环境较好的一些矿山，由于煤层地质构造的复杂性，随时都有发生安全事故的可能性。有鉴于此，我们希望每一个矿山用最大的力量去检查每一个影响矿山安全的因素，尽一切可能消除事故隐患；有些人在这样做，有些人这样做过，一个月，两个月，。。。，一年过去了，安然无事，于是不再在这些方面下工夫，投入减少，力量削弱，。。。起结果自不待言。他们只看到了事物的一方面，就是矿山安全事故因素的检测成本，他们不愿意花费太多的成本在这些在他们看来没有任何“收益”的事情上；殊不知还有另外一个方面，就是因为没有检测到而发生的损失和相关的费用。事实上我们不可能花费超额的成本去进行高密度的检察，那样人们将无法生产，一个可以接受的原则是寻求一种检察规则，使得检测成本与因未检测到而发生的损失费用之和最小。
2． 最优化模型的建立
假定对矿山的所有有关安全的因素检测诊断（好或不好）一次的成本为c0. 可以设想检测周期（相临两次检测的时间间隔）T越厂，因为没有检测到相关事故隐患而发生的损失L(T)就越大；检测的频率越高 ，因为没有
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检测到相关事故隐患而发生的损失L(T)就越小但是检测成本就会增高。 不妨设单位时间的检测密度函数（单位时间的检测次数）为u(t), 于是1/u(t)就是两次检测之间的时间间隔，而 1/2u(t)就是出现的可以造成事故的隐患因素而没有被检测出来的期望（平均）时间，由此而造成的期望损失是
L(T)?L(1/2u(t))，并且L'?0,L\?0是严格凸函数。假定第一次发生事故的时间
是t，定义
x(t)??0u(s)ds
于是 x'(t)?u(t),x(t)为直到时刻t为止的累计检测次数，在此期间发生的检测成本将是c0x(t).
令 F(t) 为在时间间隔[0 ， t]发生事故的已知概率分布函数（通过长期的观察分析和研究可以得到这种分布函数）, 于是 F'(t)就是发生事故的概率密度函数，当然F(t)是不减的且满足F(0)?0,F(t1)?1（此假设表示，该矿山系统将必在时间t1（可以很长）发生事故，尽管我们不希望事实如此，但是我们必须做这样的设想以预防一切可能发生的事故）. 在第一次发生事
t故前的这段时间里，矿山应承担的检测成本与损失费用的期望值是
?t10[c0x(t)?L(1)]F'(t)dt 2u(t)(1)
即在时间 t发生的成本费用之和与时刻 t出现故障的概率密度的乘积在第一次事故前的时间区间上的积分（累积效应） , 我们将要确定一个检测密度函数u(t) 使这个期望值最小。
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由前述讨论，得到我们研究的问题为如下的优化模型：
min?[cx(t)?L(1/2u(t))]F'(t)dt (2)
00t1 S.T: x'(t)?u(t)，x(0)?0, x(t1)不确定是自由的。 3． 主要结论 1）
最优检测计划u(t) 的一个隐函数形式的解是
L'(1/2u(t))/u2(t)?2c0(1?F(t))/F'(t)。
2） 当损失函数是线形函数，即L(T)?cT, 最优检测规划为 (9)式时, 检测
成本与损失成本相等
?3）
t10L(1/2u(t))F'dt??t10L(1/2u(t))F'dt 。
最坏情形下发生事故的概率分布函数是时间t的单调增的函数，并且
F'(t)?0，F\(t)?0，不仅是随时间增加的，而且随时间的增长有加速的趋势，
安全运行的时间越长，发生事故的可能性越大。 4）
最坏情形下明智的选择是采用最优的检测规划
u(t)?[cF'(t)/(2c0(1?F(t)))]1/2=c/c0(t1?t)/2
可以发现，u'(t)?0，并且u\(t)?0，以预防随时可能发生的不测之情况。 4．结论的证明几有关讨论 1）。由（2）式描述的这个问题的 哈密尔顿函数[1]是 H?[c0x?L(1/2u)]F'??u 从 Hu??L'(1/2u)F'???0 有 22uF'}/dt 2u2 ?'?d{L'(1/2u). .
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但是?'???H/?x??c0F'， 且?(t1)?0，于是 c0F'dt ?d{?L'(1/2u)边对t积分
F'}，两22u?t1tc0F'(t)dt???d[L'(1/2u)F'(t)/2u2] (3)
tt1利用F(t1)?1和
?(t1)?L'(1/2u)F'/2u2?0 at t1 (4) 对式（3）积分得 c0?c0F(t)?L'(1/2u)F'(t)/2u2
于是我们得到关于最优检测计划n(t) 的一个隐函数形式表示的解
L'(1/2u(t))/u2(t)?2c0(1?F(t))/F'(t) (5)
对于损失函数是检测间隔的线形函数的特殊情形，L(T)?cT , (5) 式给出一
个显式解 u(t)?[cF'(t)/(2c0(1?F(t)))]1/2 (6)
可见，发生矿山事故的直到时刻t为止的条件概率密度F'/(1?F)越大， 每次的检测成本c0越小，因检测不到而发生的损失 c 越大，检测频率就越高。 2）。现在我们证明，当损失函数是线形函数，即L(T)?cT, 最优检测规划为 (6)式时, 检测成本与损失成本相等，即
?t10c0x(t)F'dt??t10L(1/2u(t))F'dt
且最小的期望成本是
(2c0c)1/2?0[F'(t)(1?F(t))]1/2dt. 由（6）及 L(T)?cT,知
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有关煤矿安全问题的随机事故分析模型
