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生物统计学教案
第八章 单因素方差分析
教学时间:5学时 教学方法:课堂板书讲授
教学目的:重点掌握方差分析的方法步骤,掌握单因素和两因素的方差分析 ,了解多
重比较的一些常用方法
讲授难点:掌握单因素和两因素的方差分析
方差分析的基本原理 8.1.1 方差分析的一般概念
第五章讲过两个平均数差异性的比较可用t检验,在多组数据之间作比较便需要通过方差分析来完成。在多组数据之间作比较可以在两两平均数之间比较,但会提高犯I型错误的概率。最简单的方差分析是单因素方差分析。下面举例说明。 例1 调查5个不同小麦品系株高,结果见下表: 品 系 I II III IV V
1 2 3 4 5 和 平均数
例2 从每窝均有4只幼仔的初生动物中,随机选择4窝,称量每只动物的出生重,结果如下:
窝 别
I II III IV
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1 2 3 4 和 平均数
这两个例子都只有一个因素,例1是“品系”,例2是“窝别”。在每个因素下,又有a个水平(或称为处理),例1有5个品系,例2
有4个窝别。a个水平可以认为是a个总体,表中的数据是从a个总体中抽出的a个样本。方差分析的目的就是由这a个样本推断a个总体。因为上述实验都只有一个因素,对这样的数据所进行的方差分析称为“单因素方差分析”。单因素方差分析的典型数据见下表。
X1 X2 X3 … Xi … Xa 1 x11 x21 x31 xi1 xa1 2 x12 x22 x32 xi2 xa2 3 x13 x23 x33 xi3 xa3 ┇
j x1j x2j x3j xij xaj ┇
n x1n x2n x3n xin xan 平均数 x1. x2. x3. xi. xa. 表中的xij表示第i次处理下的第j次观测值,下标中的“.”表示求和,具体说明如下:
xi???xij,j?1an1xi??xi?,n1x???x??ani?1,2,???,a67
x?????xij,i?1j?1n百度文库 - 让每个人平等地提升自我
8.1.2 不同处理效应与不同模型
线性统计模型:
xij????i??ij?i?1,2,???,a??j?1,2,???,n模型中的xij是在i水平下的第j次观测值。μ是对所有观测值的一个参数,称为总平均数。αi是仅对第i次处理的一个参数,称为第i次处理效应。εij是随机误差成分,要求误差是服从N(0,σ2)的独立随机变量。
固定因素:①因素的水平确定后,因素的效应即被确定。②因素的a个水平
是人为特意选择的。③方差分析所得结论只适用于所 选定的a个水平。
固定效应模型:处理固定因素所使用的模型。
随机因素:①因素的水平确定之后,其效应并不固定。②因素的a个水平是从水平总体中随机抽取的。③从随机因素的a个水平所得到的结论,可推广到该因素的所有水平上。
随机效应模型:处理随机因素所使用的模型。 固定效应模型 8.2.1 线性统计模型
xij????i??ij?i?1,2,???,a??j?1,2,???,n其中αi是处理平均数与总平均数的离差,因这些离差的正负值相当,因此
??i?1ni?0如果不存在处理效应,各αi都应当等于0,否则至少有一个αi≠0。因此,零假设为:
H0:α1=α2= … =αa=0 备择假设为:
HA:αi ≠ 0(至少有一个i)
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8.2.2 平方和与自由度的分解
???xi?1j?1ananij?x????????xi?1j?1a2anij?xi???xi??x?????2???xij?xi?i?1j?1??2?2??xij?xi??xi??x???????xi??x???i?1j?1i?1j?1n??an2对于每个固定的xi .,
???xi?1j?1anij?xi??xi??x???????xi?1ai??x????xij?xi??0j?1n?? 因此,
???xi?1j?1anij?x???222?????n?xi??x?????xij?xi?i?1i?1j?1aan
以SST表示总平方和,SSA表示处理平方和,SSe表示误差平方和,
anSST???xij?x??i?1j?1??2SSA?n??xi??x???i?1a2SSe???xij?xi?i?1j?1an??2三者关系为: SST=SSA=SSe
自由度可做同样的分割: dfT=dfA + dfe dfT=an-1 dfA=a-1 dfe=an-a
为了得出检验统计量,以处理平方和与误差平方和除以相应的自由度,得出相应的均方。
MSe=SSe/dfe MSA=SSA/dfA。 8.2.3 均方期望与统计量F
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MSe是σ2的无偏估计量,证明如下:
1?SSe?E?MSe??E?E?SSe???na?a?na?a??an1?E???xij?xi?na?a?i?1j?1????2????an1?E??????i??ij????i??i?na?a?i?1j?1?an1?E????ij??i?na?a?i?1j?1?2????2???a?an?122?E????ij?n??i??na?a?i?1j?1i?1?1?na?2?a?2na?a??2??
用同样的方法可以得出MSA的均方期望。
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生物统计学教案(8)
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