??2??????2
=???? 3(1+??2)2 =???? 3(1+??2)2 ????=6(1+??2)?2?????′ ??
2
????????1
????
=12??(1+??2)2, 2
????
??=1
=48
综上所述，本题正确答案是48。
【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导 (10)函数?? ?? =??22??在??=0处的n阶导数?? ?? 0 = 【答案】?? ???1 (????2)???2(??=1,2,3,??) 【解析】
解法1 用求函数乘积的??阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式。
??
??
?? =
????=0
?? 2 ????????(2??)(?????)
??!??(???1)??2
其中????=??! ????? !,注意 ??2 ?? ??=0=0 ??≠2 ，????=2,于是
2
?? ?? 0 =?????2?(2??)(???2) ??=0=?? ???1 (????2)???2 (??≥2)
??′ 0 =0
因此?? ?? 0 =?? ???1 (????2)???2(??=1,2,3,??) 解法2
利用泰勒展开 ?? ?? =??22??=??2????????2=??2 ∞??=0
∞
(??????2)??
??!
∞??????2??+2???????22??
= ??= ??
??=0??!??=2 ???2 !???????22
?? ?? 0 ??!
由于泰勒展开系数的唯一性，得 ???2 !=
可得?? ?? 0 =?? ???1 (????2)???2(??=1,2,3,??)
综上所述，本题正确答案是?? ???1 (????2)???2 (??=1,2,3,??) 【考点】高等数学—一元函数微分学—高阶导数，泰勒展开公式 (11)设函数?? ?? 连续，φ ?? = 0????(??)????.若φ 1 =1，φ′(1)=5,则
?? 1 =
??2
【答案】2
【解析】改写φ ?? =
??2
?? 0??(??)????,由变限积分求导法得
??2
??2
φ′ ?? = ??(??)????+???? ??2 ?2??= ??(??)????+2??2?? ??2
0
1
1
0
由φ 1 =1= 0??(??)???? ，φ′ 1 = 0??(??)????+2?? 1 =1+2?? 1 可得?? 1 =2
综上所述，本题正确答案是2
【考点】高等数学—一元函数积分学—变限积分函数的性质及应用 (12)设函数y=y ?? 是微分方程??′′+??′?2??=0的解，且在??=0处 y ?? 取得极值3，则y ?? = 【答案】???2??+2????
【解析】求y ?? 归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题
??′′+??′?2??=0y 0 =3，??
′ 0
=0
由特征方程λ2+λ?2=0 可得特征根 λ1=?2，λ2=1，于 是得通解 ??=??1???2??+??2???? 又已知
??+??2=3 1???1=1，??2=2 ?2??1+??2=0
综上所述，本题正确答案是???2??+2????
【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系数齐次线性方程 (13)若函数??=??(??,??)由方程????+2??+3??+??????=1确定，则
dz 0,0 =
【答案】?3?????3????
【解析】 先求??(0,0) ，在原方程中令??=0,??=0得
??3??=1??? 0,0 =0
方程两边同时求全微分得
1
2
????+2??+3?? ????+2????+3???? +????????+????????+????????=0
令??=0,??=0,??=0 得
dx+2dy+3dz 0,0 =0 dz 0,0 =?1?????2????
33 综上所述，本题正确答案是??????????
3
3
1
2
【考点】高等数学-多元函数微分学-隐函数的偏导数和全微分 (14)设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1，??=???????+??,其中E为3 阶单位矩阵，则行列式|B|= 【答案】 21
【解析】 A的特征值为2,-2,1,则B的特征值对应为3,7,1 所以|B|=21
【考点】线性代数—行列式—行列式计算
线性代数—矩阵—矩阵的特征值
三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(15)设函数?? ?? =??+?????? 1+?? +????????????,?? ?? =????3,若?? ?? 与?? ?? 在???0时是等价无穷小，求??,??,??的值。 【解析】利用泰勒公式
?? ?? =??+?????? 1+?? +????????????
111
=??+?? ?????2+??3+?? ??3 +????[??+??3+?? ??3 ]
236????
= 1+?? ??+ ??? ??2+??3+?? ??3
23 当???0时，?? ?? ~?? ?? ，则??=?1,??=?2,??=?3 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小的比阶，泰勒公式 (16)设A>0，D是由曲线段??=??????????(0≤??≤2)及直线y=0,??=2所
围成的平面区域，??1,??2分别表示D绕??轴与绕??轴旋转所成旋转体的体积。若??1=??2，求A的值
π
π
1
1
【解析】
1?cos2????2??2
??1=?? ??sin??=???? ????= 2400
2
2
2
??
2??2 由A>0可得
??2??2=2?? ?????????????????
0
=?2πA ????cos??
0
??22 =?2πA(?????????? 0? 02????????????)
??
??
=2????
又 ??1=??2 可得A=
π8
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的应用 (17)已知函数?? ??,?? 满足
′′ ????????,?? =2 ??+1 ????,????′ ??,0 = ??+1 ????,?? 0,?? =??2+2??
求?? ??,?? 的极值。 【解析】
′′ 由 ????????,?? =2 ??+1 ????，得
????′ ??,?? =(??+1)2????+??(??)
又已知 ????′ ??,0 = ??+1 ???? 可得
????+?? ?? = ??+1 ????
得?? ?? =?? ???? ,从而
????′ ??,?? =(??+1)2????+?? ????
对??积分得 ?? ??,?? =(??+1)2????+ ???1 ????+ψ(y) 又?? 0,?? =??2+2??， 所以ψ y =0 所以?? ??,?? =(??+1)2????+ ???1 ????
′′ 于是????′ ??,?? =(2??+2)????, ????????,?? =(??+??2+2??+2)????, ′′ ????????,?? =2????
令????′ ??,?? =0，????′ ??,?? =0得驻点(0,-1)，所以
′′ ′′ A=??????0,?1 =1 B=??????0,?1 =0 ′′ C=??????0,?1 =2
由于B2?AC<0，A>0,所以极小值为?? 0,?1 =?1 【考点】高等数学—多元函数微分学—二元函数的无条件极值 (18)计算二重积分 ??(??+??)????????, ??
其中D={(??,??)|??2+??2≤2,??≥??2} 【解析】
因为区域D关于y轴对称，所以 ????????????=0 ?? 原式= ??????????=D
12
1 2???22
2 0???? ??2??????
=2 0??2( 2???2???2)???? =2 0??2 2???2?????2 0??4???? 令??= 2????????,则
1
0??2 2?1
1
??2????= 041
??
4????????????????????= 0 1???????4?? ????=
28
22
1
??
4??
又 ??4????=5 0所以二重积分=?
4
5??
2
1
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分的计算
(19)已知函数 ?? ?? = ?? 1+??2????+ 1 1+??????，求?? ?? 的零点个数 【解析】
1
??2
考研数学二真题及答案解析
