20XX年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A) 2(C) 2
+∞1 ?????? (B) 2
+∞??????
??
????
+∞1????????
???? (D) 2
+∞??
????????
【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 2
+∞1 ????=2 ?? 2??????=
+∞
=+∞；
12
+∞2
+∞??????
2??+∞
2????????(??????)
=(??????)
2
=+∞；
2
+∞1????????
????= 2
+∞1
??????
∞
??(??????)=ln?(??????) +=+∞； 2+∞
+∞+∞??+∞??????
????=? ??????=????? 2+ ????????? ????22
2
∞=2???2?????? +=3???2， 2
因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数?? ?? =lim??→0(1+
??????????
)在(-∞,+∞)内
??2
??
(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B
【解析】这是“1∞”型极限，直接有?? ?? =lim??→0 1+
??????????
??2??
=??
lim??→0
??2???????? 1+?1 ????
=e
??lim??→0
????????
??=????(??≠0),
?? ?? 在??=0处无定义，
且lim??→0?? ?? =lim??→0????=1,所以 ??=0是?? ?? 的可去间断点，选B。 综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数?? ?? =
??αcos
1??β
,??>0，(α>0,??>0).若??′ ?? 在??=0处连续，则
0,??≤0
(A)α?β>1 (B)0<α?β≤1 (C)α?β>2 (D)0
α?1
cos??′ ?? = ????
11α?β?1
+β??sin,??β??β0,
??>0， ??≤0
′ 再有??+0=limx→0+
?? ?? ??? 0
??
0, α>1,1=limx→0+??α?1cos??β=
不存在，α≤1，
′ ???0=0
于是，??′(0)存在?α>1，此时??′ 0 =0. 当α>1时，limx→0??α?1cos??β=0， limx→0β??
α?β?1
1
sin
1??β=
不存在，α?β?1≤0，
0, α?β?1>0,
因此，??′ ?? 在??=0连续?α?β>1。选A 综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限 (4)设函数??(??)在(-∞,+∞)内连续，其
二阶导函数??′′(??)的图形如右图所示， 则曲线??=??(??)的拐点个数为 (A)0 (B)1
A O B ??
??′′(??) (C)2 (D)3 【答案】C
【解析】??(??)在(-∞,+∞)内连续，除点??=0外处处二阶可导。 ??=??(??)的可疑拐点是??′′ ?? =0的点及??′′(??)不存在的点。
??′′ ?? 的零点有两个，如上图所示，A点两侧??′′(??)恒正，对应的点不是??=?? ?? 拐点，B点两侧??′′ ?? 异号，对应的点就是??=?? ?? 的拐点。
虽然f′′ 0 不存在，但点x=0两侧f′′(x)异号，因而(0,f(0)) 是y=f x 的拐点。 综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点
????????
(5)设函数??(μ,ν)满足?? ??+??, =??2???2，则 μ=1与 μ=1依次是
???μ?ν
ν=1
ν=1
(A)2,0 (B)0,2 (C)?,0 (D)0,?
2
2
1
1
11
【答案】D
【解析】先求出f μ,ν μ=x+y,x=1+ν,
y令 ν=,? μν
y=,x
1+νμ2
μ2ν2(1+ν)2
μ2(1?ν)1+ν
μ
于是 f μ,ν =
(1+ν)
2?
==μ2(
21+ν
?1)
?f2
因此?μ μ=1=2μ 1+ν?1
ν=1
1,1
=0
2μ21?f =? =?
?νμ=1(1+ν)2 1,1 2ν=1
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分
(6)设D是第一象限中由曲线2????=1,4????=1与直线??=??,??= 3??围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则 f x,y dxdy= D
(A) dθ
π3π4π3π41sin2θ12sin2θ
f(rcosθ,rsinθ)rdr
(B) dθ π3π4
1sin2θ 1 2sin2θf(rcosθ,rsinθ)rdr
(C) dθ
π3π41sin2θ12sin2θf(rcosθ,rsinθ)dr
(D) dθ 1sin2θ 1 2sin2θf(rcosθ,rsinθ)dr
【答案】 B
【解析】D是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y= 3x 围成的平面区域，作极坐标变换，将 f x,y dxdy化为累次积分。 D D的极坐标表示为
ππ11
≤θ≤，≤θ≤， 34 sin2θ 2sin2θ 因此
π
31 sin2θ f x,y dxdy= dθ D
π41 2sin2θf(rcosθ,rsinθ)rdr
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。
1111
(7)设矩阵A= 12?? ,b= ?? 。若集合Ω={1,2}，则线性方程 ????=?? 有无穷多解的充分必要
14??2??2条件为
(A)???Ω,???Ω (B) ???Ω,??∈Ω (C)??∈Ω,???Ω (D) ??∈Ω,??∈Ω 【答案】D
【解析】Ax=b 有无穷多解?r A b =r A <3 A 是一个范德蒙德行列式，值为 a?1 (a?2),如果a?Ω，则 A ≠0，r A =3，此时Ax=b有唯一解，排除(A),(B) 类似的，若d?Ω，则r A b =3，排除(C)
当a∈Ω,d∈Ω时，r A b =r A =2，Ax=b 有无穷多解 综上所述，本题正确答案是D。
【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。 (8)设二次型??(??1,??2,??3)在正交变换??=????下的标准形为2y12+y22?y32,其中??=(????,????,????),若
Q=(????,?????,????)在正交变换
??=????下的标准形为
(A) 2y12?y22+y32 (B) 2y12+y22?y32 (C) 2y12?y22?y32 (D) 2y12+y22+y32 【答案】A
【解析】设二次型矩阵为A,则
200
??????=??????= 010
00?1
???
??
可见????,????,????都是A的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是-????也是A的特征向量，特征值为-1，因此
200
??????=??????= 0?10
001
??
???
因此在正交变换??=????下的标准二次型为2y12?y22+y32 综上所述，本题正确答案是A。
【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。 二、填空题：(9~14)小题，每小题4分，共24分。
2????=?????????????? ,??(9)设 则 =
??=3??+??3,????2??=1
【答案】48
【解析】由参数式求导法
????????′3+3??2
=′==3(1+??2)2
1????????
1+??2 再由复合函数求导法则得
考研数学二真题及答案解析
