第6章 曲线拟合的最小二乘法
6.1 拟合曲线
通过观察或测量得到一组离散数据序列可构造插值函数数据点，即
是相等的。
逼近客观存在的函数
。此时，序列
，当所得数据比较准确时，
，构造的原则是要求插值函数通过这些
与
如果数据序列，含有不可避免的误差（或称“噪音”），如图6.1
所示；如果数据序列无法同时满足某特定函数，如图6.2所示，那么，只能要求所做逼近函数
最优地靠近样点，即向量
与
与
的
误差或距离最小。按函数。
之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合
图6.1 含有“噪声”的数据 图6.2 一条直线公路与多个景点
插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。插值的目标是要插值函数尽量靠近离散点；拟
合的目标是要离散点尽量靠近拟合函数。
向量与之间的误差或距离有各种不同的定义方法。例如：
用各点误差绝对值的和表示： 用各点误差按模的最大值表示： 用各点误差的平方和表示：
或 （6.1）
其中称为均方误差，由于计算均方误差的最小值的方法容易实现而被广泛采用。按
均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线的方法。
在运筹学、统计学、逼近论和控制论中，最小二乘法都是很重要的求解方法。例如，它是统计学中估计回归参数的最基本方法。
关于最小二乘法的发明权，在数学史的研究中尚未定论。有材料表明高斯和勒让德分别独立地提出这种方法。勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小二乘法的论文，这时高斯指出，他早在1795年之前就使用了这种方法。但数学史研究者只找到了高斯约在1803年之前使用了这种方法的证据。
在实际问题中，怎样由测量的数据设计和确定“最贴近”的拟合曲线？关键在选择适当的拟合曲线类型，有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类型；在对拟合曲线一无所知的情况下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方法找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。
例如，某风景区要在已有的景点之间修一条规格较高的主干路，景点与主干路之间由各具特色的支路联接。设景点的坐标为点列
，即拟合函数是一条直线。通过计算均方误差
（见图6.2）。
；设主干路为一条直线
最小值而确定直线方程
6.2 线性拟合和二次拟合函数
线性拟合
给定一组数据，做拟合直线，均方误差为
（6.2）
是二元函数，的极小值要满足
整理得到拟合曲线满足的方程：
（6.3）
或
称式（6.3）为拟合曲线的法方程。用消元法或克莱姆法则解出方程：
a=
=
例6.1 下表为P. Sale及R. Dybdall在某处作的鱼类抽样调查，表中为鱼的数量，为鱼的种类。请用线性函数拟合鱼的数量和种类的函数关系。
13 11 40 13 15 10 42 14 16 11 55 22 21 12 60 14 22 12 62 21 23 13 64 21 25 13 70 24 29 12 17 30 14 23 31 16 34 36 17 72 100 130 解：设拟合直线
编号 1 2 3 ，并计算得下表： x 13 15 16 y 11 10 11 xy 143 150 176 x2 169 225 256 4 5 21 ∑ 21 22 130 956 12 12 34 344 252 264 441 484 4420 16900 18913 61640 将数据代入法方程组（6.3）中，得到：
解方程得：= 8.2084，= 0.1795
拟合直线为： 二次拟合函数
= 8.2084 + 0.1795
给定数据序列，用二次多项式函数拟合这组数据。
设，作出拟合函数与数据序列的均方误差：
（6.4）
由多元函数的极值原理，的极小值满足
整理得二次多项式函数拟合的法方程：
（6.5）
解此方程得到在均方误差最小意义下的拟合函数的法方程，法方程的系数矩阵是对称的。当拟保多项式阶
。方程组（6.5）称为多项式拟合
时，法方程的系数矩阵是病
态的，在计算中要用双精度或一些特殊算法以保护解的准确性。
例6.2 给定一组数据，如下表。用二次多项式函数拟合的这组数据。
－3 4 －2 2 －1 3 0 0 1 －1 2 －2 3 －5 解：设
－3 －2 －1 0 1 2 3 4 2 3 0 1 2 5 1 ，由计算得下表： －12 －4 －3 0 －1 －4 －15 －39 9 4 1 0 1 4 9 28 36 －27 8 3 0 －8 －1 0 81 16 1 0 1 16 81 96 －1 1 －8 8 －45 27 －7 0 将数据代入式（6.5），相应的法方程为：
解方程得：=0.66667，=－1.39286，=－0.13095
∴= 0.66667－1.39286－0.13095
拟合曲线的均方误差： 结果见图6.3。
=3.09524
图6.3 拟合曲线与数据序
6.3 解矛盾方程组
在6.2节中用最小二乘法构造拟合函数，本节中用最小二乘法求解线性矛盾方程组的方法构造拟合函数。
数值计算_第6章 曲线拟合的最小二乘法
